Pequeno Teorema de Fermat nos permite realizar diversos cálculos de maneira mais rápida, sendo um grande aliado na Teoria dos Números. Teorema nos diz que: "Se péum primo e a é um inteiro não divisivel por p, então a^p-1equiv 1(modp) ". Utilizando o PTF, determine o resto da divisão de 135^67 por 7.

Para determinar o resto da divisão de $135^{67}$ por 7 utilizando o Pequeno Teorema de Fermat, primeiro precisamos encontrar o resto da divisão de 135 por 7.<br /><br />Dividindo 135 por 7, obtemos:<br /><br />$$135 \div 7 = 19 \text{ resto } 2$$<br /><br />Portanto, o resto da divisão de 135 por 7 é 2.<br /><br />Agora, podemos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat para encontrar o resto da divisão de $135^{67}$ por 7. O teorema nos diz que, se p é um número primo e a é um inteiro não divisível por p, então:<br /><br />$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$<br /><br />No nosso caso, p = 7 e a = 135. Como 135 é divisível por 7, temos que 135 ≡ 2 (mod 7). Portanto, podemos reescrever a expressão como:<br /><br />$$2^{7-1} \equiv 1 \pmod{7}$$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$$2^6 \equiv 1 \pmod{7}$$<br /><br />Agora, podemos substituir essa congruência na expressão original:<br /><br />$$135^{67} \equiv 2^{67} \pmod{7}$$<br /><br />Para calcular $2^{67} \pmod{7}$, podemos usar a propriedade de exponenciação. Podemos escrever 67 como 6 * 11 + 1, então:<br /><br />$$2^{67} = 2^{6 \cdot 11 + 1} = (2^6)^{11} \cdot 2^1$$<br /><br />Como $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$, temos:<br /><br />$$(2^6)^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{7}$$<br /><br />Portanto:<br /><br />$$2^{67} \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{7}$$<br /><br />Assim, o resto da divisão de $135^{67}$ por 7 é 2.