19. (Pucrj 2012) Um sistema eletrostático composto por 3 cargas Q_(1)=Q_(2)=+Q e Q_(3)=q é montado de forma a permanecer em equilibrio , isto é, imóvel. Sabendo-se que a carga Q_(3) é colocada no ponto médio entre Q_(1) e Q_(2) , calcule q. a) -2Q b) 4Q c) -1/4Q d) 1/2Q e) -1/2Q

Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças exercidas pelas cargas sobre cada uma delas deve ser igual a zero. Vamos analisar as forças atuando sobre cada carga.<br /><br />1. **Força exercida por \(Q_1\) sobre \(Q_2\)**:<br /> \[<br /> F_{12} = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}<br /> \]<br /> onde \(r\) é a distância entre \(Q_1\) e \(Q_2\).<br /><br />2. **Força exercida por \(Q_2\) sobre \()**:<br /> \[<br /> F_{21} = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}<br /> \]<br /> Esta força é igual e oposta à força \(F_{12}\).<br /><br />3. **Força exercida por \(Q_3\) sobre \(Q_1\)**:<br /> \[<br /> F_{31} = k \frac{Q_3 Q_1}{(r/2)^2} = k \frac{q Q}{r^2/4}<br /> \]<br /><br />4. **Força exercida por \(Q_3\) sobre \(Q_2\)**:<br /> \[<br /> F_{32} = k \frac{Q_3 Q_2}{(r/2)^2} = k \frac Q}{r^2/4}<br /> \]<br /><br />Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:<br /><br />\[<br />F_{12} + F_{31} + F_{32} = 0<br />\]<br /><br />Substituindo as forças:<br /><br />\[<br />k \frac{Q^2}{r^2} + k \frac{q Q}{r^2/4} + k \frac{q Q}{r^2/4} = 0<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />k \frac{Q^2}{r^2} + 2k \frac{q Q}{r^2/4} = 0<br />\]<br /><br />\[<br />k \frac{Q^2}{r^2} + {q Q}{r^2} = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{Q^2}{r^2} + 8 \frac{q Q}{r^2} = 0<br />\]<br /><br />\[<br />Q^2 + 8qQ = 0<br />\]<br /><br />\[<br />Q(Q + 8q) = 0<br />\]<br /><br />Como \(Q \neq 0\), temos:<br /><br />\[<br />Q + 8q = 0<br />\]<br /><br />\[<br />8q = -Q<br />\]<br /><br />\[<br />q = -\frac{Q}{8}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />c) \(-\frac{1}{4}Q\)