11.Um método para se aproximar raizes quadra- das é dado pela desigualdade das médias, que afirma que para dois números positivos a e b vale a propriedade (2cdot acdot b)/(a+b)leqslant sqrt (acdot b)leqslant (a+b)/(2) a) Utilizando essa propriedade, mostre que a desigualdade a seguir é verdadeira 5,45leqslant sqrt (30)leqslant 5,50 b) Que valor seria uma boa aproximação para sqrt (30) ? Justifique sua resposta.

a) Para mostrar que a desigualdade $5,45 \leq \sqrt{30} \leq 5,50$ é verdadeira utilizando a desigualdade das médias, podemos calcular os valores das médias das extremidades da desigualdade.

Para o lado esquerdo da desigualdade, temos $a = 5,45$ e $b = 30$. Substituindo esses valores na desigualdade das médias, temos:

$\frac{2 \cdot 5,45 \cdot 30}{5,45 + 30} = \frac{327}{35,45} \approx 9,19$

Para o lado direito da desigualdade, temos $a = 5,50$ e $b = 30$. Substituindo esses valores na desigualdade das médias, temos:

$\frac{5,50 + 30}{2} = \frac{35,50}{2} = 17,75$

Portanto, podemos afirmar que $5,45 \leq \sqrt{30} \leq 5,50$ é verdadeiro.

b) Para encontrar uma boa aproximação para $\sqrt{30}$, podemos calcular o valor exato da raiz quadrada de 30. Usando uma calculadora, encontramos que $\sqrt{30} \approx 5,477$.

Portanto, uma boa aproximação para $\sqrt{30}$ seria 5,477, pois está dentro do intervalo $5,45 \leq \sqrt{30} \leq 5,50$ e está mais próximo do valor exato.