ICA taisidere quexey são números inteiros positivos que 5x+3y=29 presenta o valor máximo de y-x a alternativa que

Para encontrar o valor máximo de \( y - x \) na equação \( 5x + 3y = 29 \), podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Expressar \( y \) em termos de \( x \)**:<br /> \[<br /> 5x + 3y = 29 \implies 3y = 29 - 5x \implies y = \frac{29 - 5x}{3}<br /> \]<br /><br />2. **Garantir que \( y \) e \( x \) sejam inteiros positivos**:<br /> \[<br /> y = \frac{29 - 5x}{3} \text{ deve ser um número inteiro positivo}<br /> \]<br /> Isso significa que \( 29 - 5x \) deve ser divisível por 3 e \( y \) deve ser positivo.<br /><br />3. **Encontrar valores de \( x \) que satisfazem a condição**:<br /> Vamos testar valores de \( x \) que tornam \( y \) um inteiro positivo:<br /> \[<br /> 29 - 5x \equiv 0 \pmod{3} \implies 29 \equiv 5x \pmod{3} \implies 2 \equiv 5x \pmod{3} \implies 2 \equiv x \pmod{3}<br /> \]<br /> Portanto, \( x \) pode ser \( 2, 5, 8, \ldots \) (todos os múltiplos de 3 menos 1).<br /><br />4. **Verificar os valores de \( x \) que resultam em \( y \) sendo positivo**:<br /> \[<br /> y = \frac{29 - 5x}{3} > 0 \implies 29 - 5x > 0 \implies x < \frac{29}{5} \implies x < 5.8<br /> \]<br /> Então, \( x \) pode ser \( 1, 2, 3, 4, 5 \).<br /><br />5. **Calcular \( y - x \) para cada valor de \( x \)**:<br /> \[<br /> \begin{align*}<br /> \text{Se } x = 1, & \quad y = \frac{29 - 5 \cdot 1}{3} = \frac{24}{3} = 8 \quad \Rightarrow \quad y - x = 8 - 1 = 7 \\<br /> \text{Se } x = 2, & \quad y = \frac{29 - 5 \cdot 2}{3} = \frac{19}{3} \quad \text{(não é inteiro)} \\<br /> \text{Se } x = 3, & \quad y = \frac{29 - 5 \cdot 3}{3} = \frac{14}{3} \quad \text{(não é inteiro)} \\<br /> \text{Se } x = 4, & \quad y = \frac{29 - 5 \cdot 4}{3} = \frac{9}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad y - x = 3 - 4 = -1 \\<br /> \text{Se } x = 5, & \quad y = \frac{29 - 5 \cdot 5}{3} = \frac{4}{3} \quad \text{(não é inteiro)}<br /> \end{align*}<br /> \]<br /><br />Portanto, o valor máximo de \( y - x \) é \( 7 \) quando \( x = 1 \) e \( y = 8 \).<br /><br />A alternativa correta é:<br />\[ \boxed{7} \]