5. 227 (UF-PR) Um determinado tipo de canhão para artilharia antiaérea dispara projéteis que descre. vem uma trajetória parabólica. Após vários disparos, um grupo de engenheiros militares constatou que desprezando-se a resisténcia do ar 05 projéteis lancados a partir do solo descrevem urna parábola de equaçǎo y=16k^2x-kx^2 sendo xey dados em metros e kum fator positivo relacionado a inclinação que pode ser ajustado diretamente no canhão. a) Que valor se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo? b) Qual 60 menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lancado por esse canhão atinja a altura de 1000 m?

a) Para que um projétil lançado por esse canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo, devemos encontrar o valor de k que faz com que a equação da parábola seja satisfeita quando y = 0 (o solo) e x = 400.<br /><br />Substituindo esses valores na equação da parábola, temos:<br /><br />0 = 16k^2 * 400 - k * 400^2<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />0 = 6400k^2 - 160000k<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />0 = k(6400k - 160000)<br /><br />Portanto, temos duas soluções possíveis: k = 0 ou k = 160000/6400.<br /><br />Como k é um fator positivo relacionado à inclinação do canhão, a solução válida é k = 160000/6400 = 25.<br /><br />Portanto, o valor que deve ser atribuído a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo é k = 25.<br /><br />b) Para encontrar o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja a altura de 1000 m, devemos encontrar o valor de k que faz com que a equação da parábola seja satisfeita quando y = 1000.<br /><br />Substituindo esse valor na equação da parábola, temos:<br /><br />1000 = 16k^2x - kx^2<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />1000 = k(16x - x^2)<br /><br />Para encontrar o menor valor de k, devemos encontrar o valor de x que maximiza a expressão 16x - x^2. A derivada dessa expressão em relação a x é 16 - 2x. Igualando essa derivada a zero, temos:<br /><br />16 - 2x = 0<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />2x = 16<br /><br />x = 8<br /><br />Substituindo esse valor de x na equação 1000 = k(16x - x^2), temos:<br /><br />1000 = k(16 * 8 - 8^2)<br /><br />1000 = k(128 - 64)<br /><br />1000 = k * 64<br /><br />k = 1000 / 64<br /><br />k ≈ 15,625<br /><br />Portanto, o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja a altura de 1000 m é k ≈ 15,625.