5:-simplifique a) A=log _(2) 0,5+log _(9) sqrt(3)+log _(8) 8 b) M=log _(4) 4+log _(7) 13 cdot log 10 c) 0=(log _(9) 2) cdot(log _(2) 5) cdot(log _(3) 3) d) R=log 0,001+log _(2) 4 sqrt(32)-log _(2) 0,125

Vamos simplificar cada uma das expressões fornecidas:<br /><br />a) \( A=\log _{2} 0,5+\log \sqrt{3}+\log _{4} 8 \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos reescrever os termos usando logaritmos de base 10:<br /><br />\( \log _{2} 0,5 = \frac{\log 0,5}{\log 2} \)<br /><br />\( \log \sqrt{3} = \log 3^{1/2} = \frac{1}{2} \log 3 \)<br /><br />\( \log _{4} 8 = \frac{\log 8}{\log 4} \)<br /><br />Substituindo esses valores na expressão original, temos:<br /><br />\( A = \frac{\log 0,5}{\log 2} + \frac{1}{2} \log 3 + \frac{\log 8}{\log 4} \)<br /><br />Podemos simplificar ainda mais usando as propriedades dos logaritmos:<br /><br />\( \log 0,5 = \log \frac{1}{2} = -\log 2 \)<br /><br />\( \log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 \)<br /><br />\( \log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2 \)<br /><br />Substituindo esses valores, temos:<br /><br />\( A = \frac{-\log 2}{\log 2} + \frac{1}{2} \log 3 + \frac{3 \log 2}{2 \log 2} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( A = -1 + \frac{1}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \)<br /><br />\( A = \frac{1}{2} \log 3 + \frac{1}{2} \)<br /><br />\( A = \frac{1}{2} (\log 3 + 1) \)<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é \( A = \frac{1}{2} (\log 3 + 1) \).<br /><br />b) \( M=\log _{4} 4+\log _{7} 13 \cdot \log 10 \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos reescrever os termos usando logaritmos de base 10:<br /><br />\( \log _{4} 4 = 1 \)<br /><br />\( \log _{7} 13 \cdot \log 10 = \frac{\log 13}{\log 7} \cdot \log 10 \)<br /><br />Substituindo esses valores na expressão original, temos:<br /><br />\( M = 1 + \frac{\log 13}{\log 7} \cdot \log 10 \)<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é \( M = 1 + \frac{\log 13}{\log 7} \cdot \log 10 \).<br /><br />c) \( 0=\left(\log _{9} 2\right) \cdot\left(\log _{2} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 3\right) \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos reescrever os termos usando logaritmos de base 10:<br /><br />\( \log _{9} 2 = \frac{\log 2}{\log 9} \)<br /><br />\( \log _{2} 5 = \frac{\log 5}{\log 2} \)<br /><br />\( \log _{3} 3 = 1 \)<br /><br />Substituindo esses valores na expressão original, temos:<br /><br />\( 0 = \frac{\log 2}{\log 9} \cdot \frac{\log 5}{\log 2} \cdot 1 \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( 0 = \frac{\log 5}{\log 9} \)<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é \( 0 = \frac{\log 5}{\log 9} \).<br /><br />d) \( R=\log 0,001+\log _{2} 4 \sqrt{32}-\log 0,125 \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos reescrever os termos usando logaritmos de base 10:<br /><br />\( \log 0,001 = \log 10^{-3} = -3 \)<br /><br />\( \log _{2} 4 \sqrt{32} = \log 4 +