Questão 7 Considere a função f R-Rdefinida por f(x)=x^3+3x^2-2 A respeito dessa função analiseas seguntes afirmaçoes 1. A função f admite apenas valor maximo II. Os pontos criticos detsao x=0 . x=2 III. A função f admite um valor minimo quando x=0 Está correto o que se afirma apenas em A. III. B. lell. C. IIeIII. D. L E. c AMTERIOR PROYOUA FINA UZA RPRO VA

Para analisar as afirmações sobre a função \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 2 \), vamos seguir os passos necessários:<br /><br />1. **Encontrar os pontos críticos:**<br /> Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero:<br /> \[<br /> f'(x) = 3x^2 + 6x<br /> \]<br /> Resolvendo \( f'(x) = 0 \):<br /> \[<br /> 3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x + 2) = 0 \implies x = 0 \text{ ou } x = -2<br /> \]<br /> Portanto, os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = -2 \).<br /><br />2. **Determinar se esses pontos são máximos ou mínimos:**<br /> Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada:<br /> \[<br /> f''(x) = 6x + 6<br /> \]<br /> Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos:<br /> - Para \( x = 0 \):<br /> \[<br /> f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0 \implies \text{ponto de mínimo}<br /> \]<br /> - Para \( x = -2 \):<br /> \[<br /> f''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0 \implies \text{ponto de máximo}<br /> \]<br /><br />3. **Analisar as afirmações:**<br /> - I. A função \( f \) admite apenas valor máximo: Incorreto, pois a função admite tanto um valor máximo quanto um valor mínimo.<br /> - II. Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \): Incorreto, pois os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = -2 \).<br /> - III. A função \( f \) admite um valor mínimo quando \( x = 0 \): Correto, pois \( x = 0 \) é um ponto de mínimo.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />C. \( IIeIII. \)