Parte 2: Derivadas com a Regra do Quociente Use a regra do quociente para calcular as derivadas das seguintes funçōes: 1 f(x)=(3x^2-5)/(x+1) 2 g(x)=(x^3+4x)/(x^2)-1 3 h(x)=(5e^2x)/(x^3)+2 4. j(x)=(x+3)/(e^x) 5 k(x)=(e^x)/(x^2)+1

Vamos calcular as derivadas das funções usando a regra do quociente:<br /><br />1. Para $f(x)=\frac {3x^{2}-5}{x+1}$, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />$f'(x)=\frac{(6x)(x+1)-(3x^{2}-5)(1)}{(x+1)^{2}}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$f'(x)=\frac{6x^{2}+6x-3x^{2}+5}{(x+1)^{2}}$<br /><br />$f'(x)=\frac{3x^{2}+6x+5}{(x+1)^{2}}$<br /><br />2. Para $g(x)=\frac {x^{3}+4x}{x^{2}-1}$, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />$g'(x)=\frac{(3x^{2})(x^{2}-1)-(x^{3}+4x)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$g'(x)=\frac{3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}-8x}{(x^{2}-1)^{2}}$<br /><br />$g'(x)=\frac{-x^{4}-3x^{2}-8x}{(x^{2}-1)^{2}}$<br /><br />3. Para $h(x)=\frac {5e^{2x}}{x^{3}+2}$, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />$h'(x)=\frac{(10e^{2x})(x^{3}+2)-(5e^{2x})(3x^{2})}{(x^{3}+2)^{2}}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$h'(x)=\frac{10e^{2x}x^{3}+20e^{2x}-15e^{2x}x^{2}}{(x^{3}+2)^{2}}$<br /><br />$h'(x)=\frac{10e^{2x}x^{3}-15e^{2x}x^{2}+20e^{2x}}{(x^{3}+2)^{2}}$<br /><br />4. Para $j(x)=\frac {x+3}{e^{x}}$, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />$j'(x)=\frac{(1)(e^{x})-(x+3)(e^{x})}{(e^{x})^{2}}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$j'(x)=\frac{e^{x}-xe^{x}-3e^{x}}{e^{2x}}$<br /><br />$j'(x)=\frac{e^{x}(1-x-3)}{e^{2x}}$<br /><br />$j'(x)=\frac{1-x-3}{e^{x}}$<br /><br />5. Para $k(x)=\frac {e^{x}}{x^{2}+1}$, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />$k'(x)=\frac{(e^{x})(x^{2}+1)-(e^{x})(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$k'(x)=\frac{e^{x}x^{2}+e^{x}-2xe^{x}}{(x^{2}+1)^{2}}$<br /><br />$k'(x)=\frac{e^{x}(x^{2}-2x+1)}{(x^{2}+1)^{2}}$<br /><br />$k'(x)=\frac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$