9. Determine os quocientes simplificando o resultado quando for possivel. a) sqrt [6](13^4):sqrt [6](13^2)= b) sqrt (1600):sqrt (25)= c) sqrt [3](3^2):sqrt (3)= d) sqrt [5](8^3):sqrt [3](4)=

Vamos simplificar cada expressão passo a passo:

a) $\sqrt[6]{13^4} : \sqrt[6]{13^2}$

Podemos escrever as raízes de mesma ordem em uma única expressão:

$$\frac{\sqrt[6]{13^4}}{\sqrt[6]{13^2}} = \sqrt[6]{\frac{13^4}{13^2}} = \sqrt[6]{13^{4-2}} = \sqrt[6]{13^2} = 13^{2/6} = 13^{1/3}$$

Portanto, a resposta é $13^{1/3}$.

b) $\sqrt{1600} : \sqrt{25}$

Podemos simplificar as raízes quadradas diretamente:

$$\frac{\sqrt{1600}}{\sqrt{25}} = \frac{40}{5} = 8$$

Portanto, a resposta é $8$.

c) $\sqrt[3]{3^2} : \sqrt{3}$

Podemos escrever a raiz cúbica como uma potência de $3$:

$$\frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt{3}} = \frac{3^{2/3}}{3^{1/2}} = 3^{2/3 - 1/2} = 3^{4/6 - 3/6} = 3^{1/6}$$

Portanto, a resposta é $3^{1/6}$.

d) $\sqrt[5]{8^3} : \sqrt[3]{4}$

Podemos escrever as raízes como potências:

$$\frac{\sqrt[5]{8^3}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{8^{3/5}}{4^{1/3}}$$

Sabemos que $8 = 2^3$ e $4 = 2^2$:

$$\frac{(2^3)^{3/5}}{(2^2)^{1/3}} = \frac{2^{9/5}}{2^{2/3}} = 2^{9/5 - 2/3}$$

Convertendo as frações para um denominador comum:

$$2^{9/5 - 2/3} = 2^{27/15 - 10/15} = 2^{17/15} = 2^{1 + 2/15} = 2 \cdot 2^{2/15} = 2 \cdot \sqrt[15]{4}$$

Portanto, a resposta é $2 \cdot \sqrt[15]{4}$.