1 - Gafculer le DL ole (1)/(1+1+1) 2- Etudier la forctions fin) [ f(x)=sin ((x)/(u-1))+2024 ] 3- Galuebr les limits sukont [ A=lim _(u arrow 0) frac(ln (cosh u)){} B=lim _(u arrow 0) (sin (u)^2)/(cosh (x)) 4=operatorname(Montrer) 94 (n+1)/(3 n-1)=(1)/(3) ]

1 - Calculer le résultat de \( \frac{1}{1+1+1} \) :<br />La réponse correcte est \( \frac{1}{3} \). En simplifiant l'expression, on obtient \( \frac{1}{3} \).<br /><br />2 - Étudier la fonction \( f(x) = \sin \left(\frac{x}{u-1}\right) + 2024 \) :<br />La réponse correcte est \( f(x) = \sin \left(\frac{x}{u-1}\right) + 2024 \). Cette fonction est définie pour toutes les valeurs de \( x \) et \( u \) tels que \( u \neq 1 \). Elle représente une fonction trigonométrique décalée et déplacée par rapport à la fonction sinusuelle standard.<br /><br />3 - Calculer les limites suivantes :<br />\( A = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\ln (\cosh u)}{u} \)<br />\( B = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin (u)^{2}}{\cosh (u)} \)<br />La réponse correcte est \( A = 0 \) et \( B = 0 \). En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et trigonométriques, on peut montrer que ces limites tendent vers zéro lorsque \( u \) tend vers zéro.<br /><br />4 - Montrer que \( 94 \frac{n+1}{3 n-1}=\frac{1}{3} \) :<br />La réponse correcte est \( 94 \frac{n+1}{3 n-1}=\frac{1}{3} \). En simplifiant cette équation, on peut montrer que cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de \( n \) tels que \( n \neq \frac{1}{3} \).