21.D etermine a PA em que: ) a_(1)+3a_(2)=5 4a_(3)-2a_(6)=-8

Para determinar a progressão aritmética (PA) dada pelas equações:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />a_{1} + 3a_{2} = 5 \\<br />4a_{3} - 2a_{6} = -8<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Vamos resolver passo a passo.<br /><br />### Passo 1: Expressar \(a_2\) e \(a_3\) em termos de \(a_1\) e \(d\)<br /><br />Para uma PA, temos:<br />\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]<br /><br />Então:<br />\[ a_2 = a_1 + d \]<br />\[ a_3 = a_1 + 2d \]<br />\[ a_6 = a_1 + 5d \]<br /><br />### Passo 2: Substituir esses valores nas equações<br /><br />Substituindo \(a_2\) na primeira equação:<br />\[ a_1 + 3(a_1 + d) = 5 \]<br />\[ a_1 + 3a_1 + 3d = 5 \]<br />\[ 4a_1 + 3d = 5 \quad \text{(Equação 1)} \]<br /><br />Substituindo \(a_3\) e \(a_6\) na segunda equação:<br />\[ 4(a_1 + 2d) - 2(a_1 + 5d) = -8 \]<br />\[ 4a_1 + 8d - 2a_1 - 10d = -8 \]<br />\[ 2a_1 - 2d = -8 \]<br />\[ a_1 - d = -4 \quad \text{(Equação 2)} \]<br /><br />### Passo 3: Resolver o sistema de equações<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. \( 4a_1 + 3d = 5 \)<br />2. \( a_1 - d = -4 \)<br /><br />Multiplicamos a segunda equação por 4 para alinhar os coeficientes de \(a_1\):<br /><br />\[ 4(a_1 - d) = 4(-4) \]<br />\[ 4a_1 - 4d = -16 \]<br /><br />Agora, subtraímos essa equação da primeira:<br /><br />\[ (4a_1 + 3d) - (4a_1 - 4d) = 5 - (-16) \]<br />\[ 4a_1 + 3d - 4a_1 + 4d = 5 + 16 \]<br />\[ 7d = 21 \]<br />\[ d = 3 \]<br /><br />Substituindo \(d = 3\) na segunda equação:<br /><br />\[ a_1 - 3 = -4 \]<br />\[ a_1 = -1 \]<br /><br />### Passo 4: Calcular os termos da PA<br /><br />Agora que temos \(a_1 = -1\) e \(d = 3\), podemos calcular os termos da PA:<br /><br />\[ a_1 = -1 \]<br />\[ a_2 = a_1 + d = -1 + 3 = 2 \]<br />\[ a_3 = a_1 + 2d = -1 + 6 = 5 \]<br />\[ a_6 = a_1 + 5d = -1 + 15 = 14 \]<br /><br />### Conclusão<br /><br />A PA é:<br /><br />\[ a_n = -1 + (n-1) \cdot 3 \]<br />\[ a_n = -1 + 3n - 3 \]<br />\[ a_n = 3n - 4 \]<br /><br />Portanto, a PA é \(a_n = 3n - 4\).