Determine a área aproximada do octógono sabendo que os lados são iguais a 18 ,7 cm e que o segmento AF é igual a 45,15 cm. A) 422cm^2 B) 844cm^2 C) 1689cm^2 D) 1690cm^2 E) 4411 cm2.

Para determinar a área aproximada do octógono, podemos usar a fórmula da área de um polígono regular:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{Perímetro} \times \text{Apotema} \]<br /><br />O perímetro do octógono é dado pela soma dos lados:<br /><br />\[ \text{Perímetro} = 8 \times 18,7 \, \text{cm} = 149,6 \, \text{cm} \]<br /><br />O apotema pode ser encontrado usando a fórmula:<br /><br />\[ \text{Apotema} = \frac{\text{Segmento AF}}{2 \times \tan(\frac{\pi}{8})} \]<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[ \text{Apotema} = \frac{45,15 \, \text{cm}}{2 \times \tan(\frac{\pi}{8})} \]<br /><br />Calculando o valor da tangente:<br /><br />\[ \tan(\frac{\pi}{8}) \approx 0,4142 \]<br /><br />Então:<br /><br />\[ \text{Apotema} = \frac{45,15 \, \text{cm}}{2 \times 0,4142} \approx 54,5 \, \text{cm} \]<br /><br />Agora, substituindo os valores na fórmula da área:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 149,6 \, \text{cm} \times 54,5 \, \text{cm} \approx 1690 \, \text{cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />D) $1690cm^{2}$