f'(2)=lim _(xarrow 2)(f(x)-f(2))/(x-2)=lim _(xarrow 2)(sqrt (x)-sqrt (2))/(x-2) lim _(xarrow 2)(sqrt (x)-sqrt (2))/((sqrt (x)-sqrt (2))(sqrt (x)+sqrt (2)))=lim _(xarrow 2)(1)/(sqrt (x)+sqrt (2))

derivada de uma função em um ponto é definida como o limite do coeficiente angular da reta tangente à curva da função nesse ponto. Neste caso, a função é dada por $f(x) = \sqrt{x}$.<br /><br />Para encontrar a derivada de $f(x)$ em $x = 2$, podemos usar a definição de derivada:<br /><br />$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$<br /><br />Substituindo $f(x) = \sqrt{x}$ e $f(2) = \sqrt{2}$, temos:<br /><br />$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x - 2}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{x} + \sqrt{2}$:<br /><br />$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{(x - 2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})}$<br /><br />Cancelando o termo $(x - 2)$ no numerador e no denominador, obtemos:<br /><br />$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$<br /><br />Agora, podemos substituir $x = 2$ na expressão:<br /><br />$f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ em $x = 2$ é $\frac{\sqrt{2}}{4}$.