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Matemática
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Dada a seguinte função: f(x,y)=4x^3cdot y^2+2y^3cdot cosx Encontre suas Derivadas Parciais: Ix e fy, e assinale a alternativa correta.

Pergunta

Dada a seguinte função:
f(x,y)=4x^3cdot y^2+2y^3cdot cosx
Encontre suas Derivadas Parciais: Ix e fy, e assinale a alternativa correta.

Dada a seguinte função: f(x,y)=4x^3cdot y^2+2y^3cdot cosx Encontre suas Derivadas Parciais: Ix e fy, e assinale a alternativa correta.

Solução

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ElzaAvançado · Tutor por 1 anos

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Para encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x) , vamos derivar em relação a x e y enquanto tratamos a outra variável como constante.

### Derivada Parcial em relação a x ( f_x ):

f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x)

Derivamos em relação a x :

f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x) \right)

A primeira parte 4x^3 \cdot y^2 é tratada como constante em relação a x :

\frac{\partial}{\partial x} (4x^3 \cdot y^2) = 12x^2 \cdot y^2

A segunda parte 2y^3 \cdot \cos(x) é tratada como constante em relação a x :

\frac{\partial}{\partial x} (2y^3 \cdot \cos(x)) = -2y^3 \cdot \sin(x)

Portanto, a derivada parcial em relação a x é:

f_x = 12x^2 \cdot y^2 - 2y^3 \cdot \sin(x)

### Derivada Parcial em relação a y ( f_y ):

f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x)

Derivamos em relação a y :

f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x) \right)

A primeira parte 4x^3 \cdot y^2 é tratada como constante em relação a y :

\frac{\partial}{\partial y} (4x^3 \cdot y^2) = 8x^3 \cdot y

A segunda parte 2y^3 \cdot \cos(x) é tratada como constante em relação a y :

\frac{\partial}{\partial y} (2y^3 \cdot \cos(x)) = 6y^2 \cdot \cos(x)

Portanto, a derivada parcial em relação a y é:

f_y = 8x^3 \cdot y + 6y^2 \cdot \cos(x)

### Alternativa Correta:

A alternativa correta é:

f_x = 12x^2 \cdot y^2 - 2y^3 \cdot \sin(x)
f_y = 8x^3 \cdot y + 6y^2 \cdot \cos(x)
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