Dada a seguinte função: f(x,y)=4x^3cdot y^2+2y^3cdot cosx Encontre suas Derivadas Parciais: Ix e fy, e assinale a alternativa correta.

Para encontrar as derivadas parciais de $f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x)$, vamos derivar em relação a $x$ e $y$ enquanto tratamos a outra variável como constante.

### Derivada Parcial em relação a $x$ ($f_x$):

$$f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x)$$

Derivamos em relação a $x$:

$$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x) \right)$$

A primeira parte $4x^3 \cdot y^2$ é tratada como constante em relação a $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x} (4x^3 \cdot y^2) = 12x^2 \cdot y^2$$

A segunda parte $2y^3 \cdot \cos(x)$ é tratada como constante em relação a $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x} (2y^3 \cdot \cos(x)) = -2y^3 \cdot \sin(x)$$

Portanto, a derivada parcial em relação a $x$ é:

$$f_x = 12x^2 \cdot y^2 - 2y^3 \cdot \sin(x)$$

### Derivada Parcial em relação a $y$ ($f_y$):

$$f(x, y) = 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x)$$

Derivamos em relação a $y$:

$$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot \cos(x) \right)$$

A primeira parte $4x^3 \cdot y^2$ é tratada como constante em relação a $y$:

$$\frac{\partial}{\partial y} (4x^3 \cdot y^2) = 8x^3 \cdot y$$

A segunda parte $2y^3 \cdot \cos(x)$ é tratada como constante em relação a $y$:

$$\frac{\partial}{\partial y} (2y^3 \cdot \cos(x)) = 6y^2 \cdot \cos(x)$$

Portanto, a derivada parcial em relação a $y$ é:

$$f_y = 8x^3 \cdot y + 6y^2 \cdot \cos(x)$$

### Alternativa Correta:

A alternativa correta é:

$$f_x = 12x^2 \cdot y^2 - 2y^3 \cdot \sin(x)$$
$$f_y = 8x^3 \cdot y + 6y^2 \cdot \cos(x)$$