5. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura cc 30^circ F . Se após 10 min a temperatura do corpo é de 0^circ F e após 20 min é de 15^circ F determine a temperatura inicial.

Para resolver esse problema, podemos usar a Lei da Radiação de Stefan-Boltzmann, que descreve como um corpo emite radiação térmica. A fórmula para a taxa de emissão de radiação térmica é:<br /><br />\[ Q = \sigma A T^4 \]<br /><br />onde:<br />- \( Q \) é a taxa de emissão de radiação térmica,<br />- \( \sigma \) é a constante de Stefan-Boltzmann (\( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4 \)),<br />- \( A \) é a área da superfície do corpo,<br />- \( T \) é a temperatura do corpo em Kelvin.<br /><br />Vamos considerar que a temperatura ambiente é \( 30^{\circ}F \), que é \( -1.11^{\circ}C \) (para converter Fahrenheit para Celsius, usamos a fórmula \( C = \frac{5}{9} (F - 32) \)).<br /><br />Para simplificar, vamos assumir que o quarto é isento de radiação externa, então a única fonte de calor é o corpo. A temperatura inicial do corpo é \( T_0 \) e a temperatura final após 10 minutos é \( 0^{\circ}F \) ou \( 273.15 \, \text{K} \).<br /><br />A taxa de emissão de calor pelo corpo é igual à taxa de absorção de calor pelo ambiente. Então, temos:<br /><br />\[ Q = \sigma A T_0^4 \]<br /><br />Após 10 minutos, a temperatura do corpo é \( 0^{\circ}F \) ou \( 273.15 \, \text{K} \). Então:<br /><br />\[ Q = \sigma A (273.15)^4 \]<br /><br />Após 20 minutos, a temperatura do corpo é \( 15^{\circ}F \) ou \( 258.69 \, \text{K} \). Então:<br /><br />\[ Q = \sigma A (258.69)^4 \]<br /><br />Como a taxa de emissão de calor é a mesma em ambos os casos, podemos igualar as duas equações:<br /><br />\[ \sigma A (273.15)^4 = \sigma A (258.69)^4 \]<br /><br />Podemos cancelar \( \sigma A \) de ambos os lados:<br /><br />\[ (273.15)^4 = (258.69)^4 \]<br /><br />No entanto, essa igualdade não é verdadeira, o que indica que a suposição de que a temperatura inicial é \( T_0 \) não é correta. Vamos corrigir a abordagem.<br /><br />Vamos usar a fórmula da taxa de troca de calor:<br /><br />\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}) \]<br /><br />onde:<br />- \( k \) é a constante de proporcionalidade,<br />- \( T \) é a temperatura do corpo,<br />- \( T_{\text{amb}} \) é a temperatura ambiente.<br /><br />Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:<br /><br />\[ T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) e^{-kt} \]<br /><br />Para \( t = 10 \) minutos:<br /><br />\[ 0 = 30 + (T_0 - 30) e^{-10k} \]<br /><br />Para \( t = 20 \) minutos:<br /><br />\[ 15 = 30 + (T_0 - 30) e^{-20k} \]<br /><br />Resolvendo essas duas equações simultaneamente, podemos encontrar \( T_0 \). Vamos resolver:<br /><br />\[ 0 = 30 + (T_0 - 30) e^{-10k} \]<br /><br />\[ \Rightarrow (T_0 - 30) e^{-10k} = -30 \]<br /><br />\[ \Rightarrow T_0 - 30 = -30 e^{10k} \]<br /><br />\[ \Rightarrow T_0 = 30 (1 - e^{10k}) \]<br /><br />Para a segunda equação:<br /><br />\[ 15 = 30 + (T_0 - 30) e^{-20k} \]<br /><br />Substituindo \( T_0 \):<br /><br />\[ 15 = 30 + (30 (1 - e^{10k}) - 30) e^{-20k} \]<br /><br />\[ 15 = 30 + (-30 e^{10k}) e^{-20k} \]<br /><br />\[ 15 = 30 - 30 e^{-10k} \]<br /><br />\[ \Rightarrow 15 = 30 (1 - e^{-10k}) \]<br /><br />\[ \Rightarrow \frac{15}{30} = 1 - e^{-10k} \]<br /><br />\[ \Rightarrow \frac{1}{2}