Um cilindro de eixo vertical, com base de área A=100 cm^2 , é vedado por um êmbolo de massa desprezível que pode deslizar livremente e contém ar à temperatura T_(0)= 300 K. Colocando-se sobre o êmbolo uma massa M=50kg ar deve ser aquecido até uma temperatura T para que o êmbolo volte à posição inicial. Qual o valor T, supondo que ar é um gás ideal? Dados: pressaoo atmosferica=1,0cdot 10^5N/m^2 ; aceleração da gravidade=10m/s^2

Question

Pergunta

Um cilindro de eixo vertical, com base de área A=100 cm^2 , é vedado por um êmbolo de massa desprezível que pode deslizar livremente e contém ar à temperatura T_(0)= 300 K. Colocando-se sobre o êmbolo uma massa M=50kg ar deve ser aquecido até uma temperatura T para que o êmbolo volte à posição inicial. Qual o valor T, supondo que ar é um gás ideal? Dados: pressaoo atmosferica=1,0cdot 10^5N/m^2 ; aceleração da gravidade=10m/s^2

Answer 1

Para resolver o problema, podemos usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação de energia interna de um sistema com o trabalho realizado sobre ele e o calor absorvido. A energia interna de um gás ideal está diretamente relacionada à sua temperatura. Portanto, podemos usar a seguinte equação: $\Delta U = nC_v\Delta T$ Onde: $\Delta U$ é a variação de energia interna, $n$ é o número de mols de gás, $C_v$ é a capacidade de calor específica a volume constante, $\Delta T$ é a variação de temperatura. No nosso caso, o êmbolo realiza trabalho sobre o gás quando se move, e o gás absorve calor para aumentar sua energia interna. Portanto, podemos escrever a seguinte equação: $W = Q$ Onde: $W$ é o trabalho realizado pelo êmbolo, $Q$ é o calor absorvido pelo gás. O trabalho realizado pelo êmbolo é dado por: $W = P \Delta V$ Onde: $P$ é a pressão do gás, $\Delta V$ é a variação de volume do gás. Como o êmbolo retorna à sua posição inicial, a variação de volume é igual à área da base do cilindro multiplicada pela variação de altura: $\Delta V = A \Delta h$ Onde: $A$ é a área da base do cilindro, $\Delta h$ é a variação de altura do êmbolo. Substituindo as expressões acima, temos: $P \Delta V = Q$ $P A \Delta h = nC_v\Delta T$ Como a pressão do gás é igual à pressão atmosférica, podemos substituir o valor dado: $1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2} \cdot 100 \cdot 10^{-4}m^{2} \cdot \Delta h = nC_v\Delta T$ Simplificando a expressão, temos: $1000 \cdot \Delta h = nC_v\Delta T$ Sabemos que a massa do êmbolo é desprezível, então podemos considerar que a variação de massa do êmbolo é igual à massa da massa colocada sobre ele. Portanto, temos: $\Delta h = \frac{M}{A}$ Substituindo na expressão anterior, temos: $1000 \cdot \frac{M}{A} = nC_v\Delta T$ Simplificando a expressão, temos: $\Delta T = \frac{1000M}{nA}$ Para encontrar o valor de T, precisamos calcular o número de mols de gás. Podemos usar a lei dos gases ideais: $PV = nRT$ Onde: $P$ é a pressão do gás, $V$ é o volume do gás, $n$ é o número de mols de gás, $R$ é a constante dos gases ideais, $T$ é a temperatura do gás. Substituindo os valores dados, temos: $1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2} \cdot V = n \cdot 8,314 \cdot 300K$ Simplificando a expressão, temos: $V = \frac{n \cdot 8,314 \cdot 300K}{1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2}}$ Agora, podemos substituir o valor de V na expressão anterior para encontrar o valor de T: $\Delta T = \frac{1000M}{A} = \frac{1000M}{\frac{n \cdot 8,314 \cdot 300K}{1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2}}}$ Simplificando a expressão, temos: $\Delta T = \frac{1000M \cdot 1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2}}{A \cdot n \cdot 8,314 \cdot 300K}$ Portanto, o valor de T é dado por: $T = T_{0} + \Delta T$ Substituindo os valores dados, temos: $T = 300K + \frac{1000M \cdot 1,0 \cdot 10^{5}N/m^{2}}{A \cdot n \cdot 8,314 \cdot 300K}$ Onde: $T_{0}$ é a temperatura inicial do gás, $M$ é a massa da massa colocada sobre o êmbolo, $A$ é a área da base do cilindro, $n$

Pergunta

Solução

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