Um pesq ulsado ment e tem 60.000 núcleos de um isó topo radioativo . Depoi s de pas sado s exa tos 6 anos, s omente 15.000 núcle os restam. Qual é a meia-vida de sse isót opo? square anos

Para determinar a meia-vida do isótopo, podemos usar a fórmula da decaimento radioativo:<br /><br />\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]<br /><br />onde:<br />- \( N(t) \) é o número de núcleos restantes após um tempo \( t \),<br />- \( N_0 \) é o número inicial de núcleos,<br />- \( \lambda \) é a constante de decaimento,<br />- \( t \) é o tempo decorrido.<br /><br />Sabemos que após 6 anos, restam 15.000 núcleos. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ 15.000 = 60.000 \cdot e^{-\lambda \cdot 6} \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 60.000, obtemos:<br /><br />\[ \frac{15.000}{60.000} = e^{-\lambda \cdot 6} \]<br /><br />Simplificando a fração:<br /><br />\[ \frac{1}{4} = e^{-\lambda \cdot 6} \]<br /><br />Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:<br /><br />\[ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\lambda \cdot 6 \]<br /><br />\[ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -6\lambda \]<br /><br />\[ \lambda = -\frac{\ln\left(\frac{1}{4}\right)}{6} \]<br /><br />\[ \lambda = \frac{\ln(4)}{6} \]<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula da meia-vida:<br /><br />\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]<br /><br />Substituindo o valor de \( \lambda \):<br /><br />\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\frac{\ln(4)}{6}} \]<br /><br />\[ T_{1/2} = \frac{6 \cdot \ln(2)}{\ln(4)} \]<br /><br />Sabendo que \( \ln(4) = 2 \cdot \ln(2) \):<br /><br />\[ T_{1/2} = \frac{6 \cdot \ln(2)}{2 \cdot \ln(2)} \]<br /><br />\[ T_{1/2} = 3 \]<br /><br />Portanto, a meia-vida desse isótopo é 3 anos.