19. S=log_(2)sqrt [3](9)sqrt ((1)/(27))-log_(3)sqrt [3](0.5)sqrt (8)+log_(3)sqrt [6](0,1)

Para resolver essa expressão, podemos utilizar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar cada termo individualmente:<br /><br />1. $log_{2}\sqrt [3]{9}\sqrt {\frac {1}{27}}$<br /> Podemos reescrever a expressão como $log_{2}(9^{1/3} \cdot \sqrt{\frac{1}{27}})$.<br /> Simplificando, temos $log_{2}(9^{1/3} \cdot \frac{1}{3})$.<br /> Podemos reescrever 9 como $3^2$, então a expressão se torna $log_{2}((3^2)^{1/3} \cdot \frac{1}{3})$.<br /> Simplificando novamente, temos $log_{2}(3^{2/3} \cdot \frac{1}{3})$.<br /> Finalmente, podemos reescrever a expressão como $log_{2}(3^{2/3 - 1})$.<br /> Simplificando, temos $log_{2}(3^{-1/3})$.<br /><br />2. $log_{3}\sqrt [3]{0.5}\sqrt {8}$<br /> Podemos reescrever a expressão como $log_{3}(0.5^{1/3} \cdot 8^{1/2})$.<br /> Simplificando, temos $log_{3}(0.5^{1/3} \cdot 2^3)$.<br /> Podemos reescrever 0.5 como $2^{-1}$, então a expressão se torna $log_{3}((2^{-1})^{1/3} \cdot 2^3)$.<br /> Simplificando novamente, temos $log_{3}(2^{-1/3} \cdot 2^3)$.<br /> Finalmente, podemos reescrever a expressão como $log_{3}(2^{3 - 1/3})$.<br /> Simplificando, temos $log_{3}(2^{8/3})$.<br /><br />3. $log_{3}\sqrt [6]{0,1}$<br /> Podemos reescrever a expressão como $log_{3}(0.1^{1/6})$.<br /> Simplificando, temos $log_{3}(0.1^{1/6})$.<br /> Podemos reescrever 0.1 como $10^{-1}$, então a expressão se torna $log_{3}((10^{-1})^{1/6})$.<br /> Simplificando novamente, temos $log_{3}(10^{-1/6})$.<br /><br />Agora, podemos substituir essas simplificações na expressão original:<br /><br />$S = log_{2}(3^{-1/3}) - log_{3}(2^{8/3}) + log_{3}(10^{-1/6})$<br /><br />Podemos utilizar a propriedade dos logaritmos que diz que $log_{a}(b) - log_{a}(c) = log_{a}(\frac{b}{c})$ para combinar os termos:<br /><br />$S = log_{2}(3^{-1/3}) - (log_{3}(2^{8/3}) - log_{3}(10^{-1/6}))$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$S = log_{2}(3^{-1/3}) - log_{3}(\frac{2^{8/3}}{10^{-1/6}})$<br /><br />Podemos utilizar a propriedade dos logaritmos que diz que $log_{a}(b^c) = c \cdot log_{a}(b)$ para simplificar os termos:<br /><br />$S = -\frac{1}{3} \cdot log_{2}(3) - \frac{8}{3} \cdot log_{3}(2) + \frac{1}{6} \cdot log_{3}(10)$<br /><br />Agora, podemos calcular os valores dos logaritmos:<br /><br />$log_{2}(3) \approx 1.585$, $log_{3}(2) \approx 0.631$ e $log_{3}(10) \approx 2.302$<br /><br />Substituindo esses valores na expressão, temos:<br /><br />$S \approx -\frac{1}{3} \cdot 1.585 - \frac{8}{3} \cdot 0.631 + \frac{1}{6} \cdot 2.302$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$S \approx -0.522 + 1.677 - 0.383$<br /><br />$S \approx 1.772$<br /><br />Portanto, o valor de S é aproximadamente 1.772.