def. 4) A função de produção de uma empresa é dada por f(x,y)=100x^0,6y^0,4 em que x é o número deunidades de mão de obra e y, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe 48 por unidadee capital, 36 por unidade. O custo total de mão de obra e capital é limitado a 100.000 Determine a) (1,0 ponto) x ey que maximiza a produção de acordo a restrição estabelecida. b) (0,5 ponto) 0 nivel máximo de produção para esse fabricante. c) (0,5 ponto) a produtividade marginal do capital (ou seja, o valor lambda - multiplicador de Lagrange)

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.<br /><br />a) Para maximizar a produção de acordo com a restrição estabelecida, precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem a função de produção e a restrição de custo.<br /><br />A função de produção é dada por $f(x,y)=100x^{0,6}y^{0,4}$, onde x é o número de unidades de mão de obra e y é o número de unidades de capital.<br /><br />A restrição de custo é dada por $48x + 36y \leq 100.000$, onde o custo total de mão de obra e capital é limitado a $100.000.<br /><br />Para resolver esse problema, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeana como:<br /><br />$L(x,y,\lambda) = 100x^{0,6}y^{0,4} + \lambda (100.000 - 48x - 36y)$<br /><br />Para encontrar os valores de x, y e $\lambda$ que maximizam a função Lagrangeana, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a cada variável e igualá-las a zero:<br /><br />$\frac{\partial L}{\partial x} = 60x^{-0,4}y^{0,4} - 48\lambda = 0$<br /><br />$\frac{\partial L}{\partial y} = 40x^{0,6}y^{-0,6} - 36\lambda = 0$<br /><br />$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 100.000 - 48x - 36y = 0$<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de x, y e $\lambda$ que maximizam a função de produção de acordo com a restrição estabelecida.<br /><br />b) Para determinar o nível máximo de produção para esse fabricante, substituímos os valores de x e y encontrados na função de produção:<br /><br />$f(x,y) = 100x^{0,6}y^{0,4}$<br /><br />c) A produtividade marginal do capital é representada pelo valor $\lambda$ - multiplicador de Lagrange. Este valor indica a mudança na produção em relação a uma mudança no capital, mantendo constante o custo total de mão de obra e capital.