6 Vamos resolver a equação irracional sqrt (7x-3)-1=x no conjunto R

Para resolver a equação irracional \(\sqrt{7x - 3} - 1 = x\) no conjunto \(\mathbb{R}\), siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Isolar a raiz quadrada**:<br /> \[<br /> \sqrt{7x - 3} = x + 1<br /> \]<br /><br />2. **Elevar ambos os lados ao quadrado** para eliminar a raiz quadrada:<br /> \[<br /> (\sqrt{7x - 3})^2 = (x + 1)^2<br /> \]<br /> \[<br /> 7x - 3 = x^2 + 2x + 1<br /> \]<br /><br />3. **Reorganizar a equação** para formar uma equação quadrática:<br /> \[<br /> x^2 + 2x + 1 - 7x + 3 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> x^2 - 5x + 4 = 0<br /> \]<br /><br />4. **Resolver a equação quadrática** usando fatoração, completando o quadrado ou a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fatoração é mais simples:<br /> \[<br /> (x - 4)(x - 1) = 0<br /> \]<br /><br /> Portanto, as soluções são:<br /> \[<br /> x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1<br /> \]<br /><br />5. **Verificar as soluções** substituindo-os na equação original para garantir que não geram raízes quadradas de números negativos:<br /><br /> - Para \(x = 4\):<br /> \[<br /> \sqrt{7(4) - 3} - 1 = 4<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{28 - 3} - 1 = 4<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{25} - 1 = 4<br /> \]<br /> \[<br /> 5 - 1 = 4<br /> \]<br /> \[<br /> 4 = 4 \quad \text{(verdadeiro)}<br /> \]<br /><br /> - Para \(x = 1\):<br /> \[<br /> \sqrt{7(1) - 3} - 1 = 1<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{7 - 3} - 1 = 1<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{4} - 1 = 1<br /> \]<br /> \[<br /> 2 - 1 = 1<br /> \]<br /> \[<br /> 1 = 1 \quad \text{(verdadeiro)}<br /> \]<br /><br />Portanto, as soluções para a equação \(\sqrt{7x - 3} - 1 = x\) no conjunto \(\mathbb{R}\) são \(x = 4\) e \(x = 1\).