Pergunta
As raizes da equação x^3+9x^2+23x-15=0 colocadas em ordem crescente são os termos iniciais de uma progressão aritmética, cuja soma dos 20 primeiros termos é: (A) 380 (B) 390 (C) 40 o (D) 41 o (E) 420
Solução
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GabriellaMestre · Tutor por 5 anos
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Para encontrar as raízes da equação \(x^{3}+9x^{2}+23x-15=0\), podemos usar o método fatoração ou o método de Newton-Raphson. Vamos usar o método de fatoração.<br /><br />Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz racional da equação. Podemos usar o Teorema das Raízes Racionais, que afirma que se um polinômio tem raízes racionais, elas devem ser fatores de termo independente (-15) divididos pelos fatores de coeficiente líder (1).<br /><br />Os fatores de -15 são: ±1, ±3, ±5, ±15.<br /><br />Vamos testar esses valores na equação original:<br /><br />Para \(x = 1\):<br />\(1^{3} + 9(1)^{2} + 23(1) - 15 = 1 + 9 + 23 - 15 = 18 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = -1\):<br />\((-1)^{3} + 9(-1)^{2} + 23(-1) - 15 = -1 + 9 - 23 - 15 = -30 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = 3\):<br />\(3^{3} + 9(3)^{2} + 23(3) - 15 = 27 + 81 + 69 - 15 = 162 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = -3\):<br />\((-3)^{3} + 9(-3)^{2} + 23(-3) - 15 = -27 + 81 - 69 - 15 = -30 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = 5\):<br />\(5^{3} + 9(5)^{2} + 23(5) - 15 = 125 + 225 + 115 - 15 = 465 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = -5\):<br />\((-5)^{3} + 9(-5)^{2} + 23(-5) - 15 = -125 + 225 - 115 - 15 = -30 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = 15\):<br />\(15^{3} + 9(15)^{2} + 23(15) - 15 = 3375 + 2025 + 345 - 15 = 5770 \neq 0\)<br /><br />Para \(x = -15\):<br />\((-15)^{3} + 9(-15)^{2} + 23(-15) - 15 = -3375 + 2025 - 345 - 15 = -1950 \neq 0\)<br /><br />Nenhuma das raízes racionais testadas satisfaz a equação. Portanto, podemos concluir que as raízes da equação não são números racionais.<br /><br />Agora, vamos encontrar as raízes da equação usando o método de fatoração. Podemos escrever a equação como:<br /><br />\(x^{3} + 9x^{2} + 23x - 15 = (x - r)(x^{2} + (r + 9)x + (r + 15)) = 0\)<br /><br />Comparando os coeficientes, temos:<br /><br />\(r + 9 = 9\)<br />\(r + 15 = 23\)<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos \(r = 0\) e \(r = 4\).<br /><br />Portanto, as raízes da equação são \(x = 0\), \(x = -3\) e \(x = 5\).<br /><br />Agora, vamos encontrar a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética formada por essas raízes, colocadas em ordem crescente.<br /><br />A soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por:<br /><br />\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)<br /><br />Onde \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos, \(a_1\) é o primeiro termo e \(a_n\) é o último termo.<br /><br />Neste caso, \(n = 20\), \(a_1 = -3\) e \(a_n = 5\).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\(S_{20} = \frac{20}{2}(-3 + 5) = 10 \cdot 2 = 20\)<br /><br />Portanto, a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética é 20.<br /><br />A resposta cor
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