Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função f(y)=sqrt (y)cdot tg(y)

Para encontrar a derivada da função $f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y)$, podemos usar a regra do produto. A regra do produto afirma que se $u(y)$ e $v(y)$ são duas funções deriváveis, então a derivada do produto $u(y) \cdot v(y)$ é dada por:

$$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$

Neste caso, temos $u(y) = \sqrt{y}$ e $v(y) = \tan(y)$. Vamos encontrar as derivadas de $u(y)$ e $v(y)$ separadamente:

$$u'(y) = \frac{d}{dy}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$$

$$v'(y) = \frac{d}{dy}(\tan(y)) = \sec^2(y)$$

Agora, aplicamos a regra do produto:

$$f'(y) = u'(y) \cdot v(y) + u(y) \cdot v'(y)$$

Substituindo as derivadas encontradas:

$$f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \tan(y) + \sqrt{y} \cdot \sec^2(y)$$

Portanto, a derivada da função $f(y) = \sqrt{y} \cdot \tan(y)$ é:

$$f'(y) = \frac{\tan(y)}{2\sqrt{y}} + \sqrt{y} \cdot \sec^2(y)$$