Demonstrar por "indução matemática": 6vert (n^3-n)

Para demonstrar por indução matemática que $6\vert (n^{3}-n)$, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para $n=1$. Substituindo $n=1$ na expressão, temos:<br />$6\vert (1^{3}-1) = 6\vert 0$, o que é verdadeiro.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro $k$, ou seja, $6\vert (k^{3}-k)$. Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para $k+1$, ou seja, $6\vert ((k+1)^{3}-(k+1))$.<br /><br />Para isso, vamos expandir a expressão $(k+1)^{3}-(k+1)$:<br />$(k+1)^{3}-(k+1) = (k^{3}+3k^{2}+3k+1)-(k+1) = k^{3}+3k^{2}+2k$.<br /><br />Agora, vamos dividir essa expressão por 6:<br />$k^{3}+3k^{2}+2k = k(k^{2}+3k+2) = k(k+1)(k+2)$.<br /><br />Como $k$, $k+1$ e $k+2$ são três números consecutivos, pelo menos um deles é divisível por 3. Além disso, pelo menos um deles é divisível por 2. Portanto, o produto $k(k+1)(k+2)$ é divisível por 6.<br /><br />Portanto, $6\vert ((k+1)^{3}-(k+1))$.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Pelo princípio da indução matemática, concluímos que $6\vert (n^{3}-n)$ para todo inteiro $n$.