QUESTÃO 3 (3 PONTOS): Encontre os valores de x que satisfaz a desigualdade: 3lt (vert 3x+5vert )/(vert 2x+1vert )leqslant 8

Para resolver a desigualdade $3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8$, precisamos analisar as condições em que essa expressão é válida. Vamos dividir o problema em duas partes:

1. $3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|}$
2. $\frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8$

### Parte 1: $3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|}$

Isso implica que:

$$|3x+5| > 3|2x+1|$$

Vamos considerar os casos para $3x+5$ e $2x+1$:

#### Caso 1: $3x+5 \geq 0$ e $2x+1 \geq 0$

Aqui, temos:

$$3x + 5 > 3(2x + 1)$$
$$3x + 5 > 6x + 3$$
$$5 - 3 > 6x - 3x$$
$$2 > 3x$$
$$x < \frac{2}{3}$$

#### Caso 2: $3x+5 \geq 0$ e $2x+1 < 0$

Aqui, temos:

$$3x + 5 > -3(2x + 1)$$
$$3x + 5 > -6x - 3$$
$$3x + 6x > -3 - 5$$
$$9x > -8$$
$$x > -\frac{8}{9}$$

#### Caso 3: $3x+5 < 0$ e $2x+1 \geq 0$

Aqui, temos:

$$-(3x + 5) > 3(2x + 1)$$
$$-3x - 5 > 6x + 3$$
$$-5 - 3 > 6x + 3x$$
$$-8 > 9x$$
$$x < -\frac{8}{9}$$

#### Caso 4: $3x+5 < 0$ e $2x+1 < 0$

Aqui, temos:

$$-(3x + 5) > -3(2x + 1)$$
$$-3x - 5 > -6x - 3$$
$$-5 + 3 > -6x + 3x$$
$$-2 > -3x$$
$$x > \frac{2}{3}$$

### Parte 2: $\frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8$

Isso implica que:

$$|3x+5| \leq 8|2x+1|$$

Vamos considerar os mesmos casos:

#### Caso 1: $3x+5 \geq 0$ e $2x+1 \geq 0$

Aqui, temos:

$$3x + 5 \leq 8(2x + 1)$$
$$3x + 5 \leq 16x + 8$$
$$5 - 8 \leq 16x - 3x$$
$$-3 \leq 13x$$
$$x \geq -\frac{3}{13}$$

#### Caso 2: $3x+5 \geq 0$ e $2x+1 < 0$

Aqui, temos:

$$3x + 5 \leq -8(2x + 1)$$
$$3x + 5 \leq -16x - 8$$
$$3x + 16x \leq -8 - 5$$
$$19x \leq -13$$
$$x \leq -\frac{13}{19}$$

#### Caso 3: $3x+5 < 0$ e $2x+1 \geq 0$

Aqui, temos:

$$-(3x + 5) \leq 8(2x + 1)$$
$$-3x - 5 \leq 16x + 8$$
$$-5 - 8 \leq 16x + 3x$$
$$-13 \leq 19x$$
$$x \geq -\frac{13}{19}$$

#### Caso 4: $3x+5 < 0$ e $2x+1 < 0$

Aqui, temos:

$$-(3x + 5) \leq -8(2x + 1)$$
$$-3x - 5 \leq -16x - 8$$
$$-3x + 16x \leq -8 + 5$$
$$13x \leq -3$$
$$x \leq -\frac{3}{13}$$

### Solução Final

Combinando todas as condições obtidas nos casos acima, temos:

- Para $x < -\frac{8}{9}$, não há solução.
- Para $-\frac{8}{9} < x < -\frac{13}{19}$, a condição é satisfeita.
- Para $-\frac{13}{19} \leq x \leq -\frac{3}{13}$, a condição é satisfeita.
- Para $x > \frac{2}{3}$, não há solução.

Portanto, a solução da desigualdade é:

$$-\frac{8}{9} < x < -\frac{13}{19} \quad \text{ou} \quad -\frac{13}{19} \leq x \leq -\frac{3}{13}$$