Questão 4 As integrais de funções de várias variáveis reais nos permite, dentre outros, determinar momentos de inércia, centros de massa, além de relacionar a densidade e a massa total de placas finas ou lâminas. Considere a placa delimitada pela curva y=-x^2+9 e pelas retas y=0,x=-3 e x=3 e de densidade rho (x,y)=2 Assinale a alternativa que contém a massa dessa placa. square 18. square 54 D sqrt (pi ) square 36 27.

Para determinar a massa da placa delimitada pela curva \(y = -x^2 + 9\), pelas retas \(y = 0\), \(x = -3\) e \(x = 3\), e de densidade \(\rho(x, y) = 2\), precisamos calcular a integral dupla sobre a região.<br /><br />A integral dupla para calcular a massa \(M\) é dada por:<br /><br />\[ M = \iint_{R} \rho(x, y) \, dA \]<br /><br />Onde \(R\) é a região delimitada pela curva e pelas retas.<br /><br />Substituindo \(\rho(x, y) = 2\), temos:<br /><br />\[ M = 2 \iint_{R} \, dA \]<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos determinar os limites de integração. A região \(R\) é delimitada pela curva \(y = -x^2 + 9\), pelas retas \(y = 0\), \(x = -3\) e \(x = 3\).<br /><br />Podemos expressar \(y\) em termos de \(x\) da curva \(y = -x^2 + 9\):<br /><br />\[ y = 9 - x^2 \]<br /><br />Os limites de integração para \(x\) são de \(-3\) a \(3\), e para \(y\) de \(0\) a \(9\).<br /><br />Agora, podemos calcular a integral dupla:<br /><br />\[ M = 2 \int_{-3}^{3} \int_{0}^{9 - x^2} \, dy \, dx \]<br /><br />Calculando a integral interna:<br /><br />\[ \int_{0}^{9 - x^2} \, dy \, dx = \int_{0}^{9 - x^2} \, dy = 9 - x^2 \]<br /><br />Agora, substituindo na integral externa:<br /><br />\[ M = 2 \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx \]<br /><br />Podemos calcular essa integral:<br /><br />\[ M = 2 \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]<br /><br />Calculando os limites de integração:<br /><br />\[ M = 2 \left[ \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right) \right] \]<br /><br />\[ M = 2 \left[ \left( 27 - 9 \right) - \left( -27 + 9 \right) \right] \]<br /><br />\[ M = 2 \left[ 18 + 18 \right] \]<br /><br />\[ M = 2 \times 36 \]<br /><br />\[ M = 72 \]<br /><br />Portanto, a massa da placa é 72. A resposta correta é:<br /><br />\[ \boxed{72} \]