1^circ Utilizando o nome COPACABANA,calcule o número de anagramas formados e refaça os cálculos considerando as repetições consecutivas dé letras.

Para calcular o número de anagramas formados a partir do nome "COPACABANA", podemos utilizar o princípio da contagem.<br /><br />Primeiro, vamos analisar o número de letras em "COPACABANA". O nome possui 10 letras, sendo que a letra "A" se repete 3 vezes e a letra "C" se repete 2 vezes.<br /><br />Para calcular o número de anagramas sem considerar as repetições consecutivas de letras, podemos usar a fórmula de derangements (ou permutações sem pontos fixos) para as letras que se repetem. No entanto, para simplificar, podemos usar a fórmula de derangements para todas as letras e depois ajustar para as repetições.<br /><br />A fórmula de derangements para \( n \) elementos é dada por:<br /><br />\[!n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \]<br /><br />Para \( n = 10 \):<br /><br />\[!10 = 10! \left( \sum_{i=0}^{10} \frac{(-1)^i}{i!} \right) \]<br /><br />Calculando a soma:<br /><br />\[ \sum_{i=0}^{10} \frac{(-1)^i}{i!} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} + \frac{1}{8!} - \frac{1}{9!} + \frac{1}{10!} \]<br /><br />\[ = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \frac{1}{720} - \frac{1}{5040} + \frac{1}{40320} - \frac{1}{362880} + \frac{1}{3628800} \]<br /><br />\[ \approx 0.338255 \]<br /><br />Então:<br /><br />\[!10 = 10! \times 0.338255 \]<br /><br />\[ = 3628800 \times 0.338255 \]<br /><br />\[ \approx 1225000 \]<br /><br />Portanto, o número de anagramas sem considerar as repetições é aproximadamente 1.225.000.<br /><br />Agora, para considerar as repetições consecutivas de letras, precisamos ajustar o cálculo. Para isso, dividimos o número total de derangements pelo fator de repetição das letras "A" e "C".<br /><br />Para "A" repetindo 3 vezes, o fator é \( 4! \) (4 posições disponíveis para as repetições).<br /><br />Para "C" repetindo 2 vezes, o fator é \( 9! \) (9 posições disponíveis para as repetições).<br /><br />Então, o número de anagramas considerando as repetições é:<br /><br />\[ \frac{!10}{4! \times 9!} \]<br /><br />\[ = \frac{1225000}{24 \times 362880} \]<br /><br />\[ = \frac{1225000}{8746880} \]<br /><br />\[ \approx 140 \]<br /><br />Portanto, o número de anagramas considerando as repetições é aproximadamente 140.