49. Euclides, no livro X de Os elementos ensina como somar os termos de uma progressão geométrica. A fórmula é: S_(n)=a_(1)cdot (a_(n+1)-a_(1))/(a_(2)-a_(1)) Mostre que essa fórmula é equivalente S_(n)=(a_(1)(q^n-1))/(q-1) 50. Em cada uma das progressóes a seguir. deter mine o termo geral da PG, associe a PGa uma função exponencial com dominio N^ast ecalcule a soma dos termos da PG. a) (5,1,(1)/(5),ldots ) b) (2^-2,2^-4,2^-6,ldots ) c) (9^-1,10^-1,9cdot 10^-2,9^2cdot 10^-3,ldots ) de automó-

49. Para mostrar que a fórmula $S_{n}=a_{1}\cdot \frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}$ é equivalente a $S_{n}=\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$, vamos utilizar a definição de uma progressão geométrica.<br /><br />Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão. Seja $a_{1}$ o primeiro termo e $q$ a razão da progressão geométrica. Então, os termos da progressão podem ser escritos como:<br /><br />$a_{1}, a_{1}\cdot q, a_{1}\cdot q^{2}, a_{1}\cdot q^{3}, \ldots$<br /><br />A soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica é dada por:<br /><br />$S_{n} = a_{1} + a_{1}\cdot q + a_{1}\cdot q^{2} + a_{1}\cdot q^{3} + \ldots + a_{1}\cdot q^{n}$<br /><br />Podemos reescrever essa soma como:<br /><br />$S_{n} = a_{1}\cdot (1 + q + q^{2} + q^{3} + \ldots + q^{n})$<br /><br />Esta é uma soma de uma progressão geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão igual a $q$. A soma dos termos de uma progressão geométrica é dada por:<br /><br />$\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />$S_{n} = a_{1}\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$S_{n} = a_{1}\cdot \frac{a_{n+1}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}$<br /><br />Portanto, a fórmula $S_{n}=a_{1}\cdot \frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}$ é equivalente a $S_{n}=\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.<br /><br />50. Vamos analisar cada uma das progressões geométricas apresentadas:<br /><br />a) $(5,1,\frac {1}{5},\ldots )$<br /><br />O primeiro termo é 5 e a razão é $\frac{1}{5}$. O termo geral da progressão geométrica é dado por:<br /><br />$a_{n} = 5\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$<br /><br />Podemos associar essa progressão geométrica à função exponencial:<br /><br />$f(x) = 5\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1}$<br /><br />O domínio dessa função é $N^{\ast}$, ou seja, o conjunto dos números naturais não nulos.<br /><br />Para calcular a soma dos termos da progressão geométrica, utilizamos a fórmula:<br /><br />$S_{n} = \frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$S_{n} = \frac{5\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n}-1\right)}{\frac{1}{5}-1}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$S_{n} = 5\cdot \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n}-1\right)$<br /><br />b) $(2^{-2},2^{-4},2^{-6},\ldots )$<br /><br />O primeiro termo é $2^{-2}$ e a razão é $2^{-2}$. O termo geral da progressão geométrica é dado por:<br /><br />$a_{n} = 2^{-2}\cdot \left(2^{-2}\right)^{n-1}$<br /><br />Podemos associar essa progressão geométrica à função exponencial:<br /><br />$f(x) = 2^{-2}\cdot \left(2^{-2}\right)^{x-1}$<br /><br />O domínio dessa função é $N^{\ast}$, ou seja, o conjunto dos números naturais não nulos.<br /><br />Para calcular a soma dos termos da progressão geométrica, utilizamos a fórmula:<br /><br />$S_{n} = \frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q