29. Qote a equecao de esfera s que passe pelo ponto A=(5,1,-3) B(3,5,2) C_(4) e D(7,31)

Para determinar a equação da esfera que passa pelos pontos A, B, C e D, precisamos calcular o centro da esfera e o raio.<br /><br />Primeiro, vamos calcular as coordenadas do centro da esfera, que é a média das coordenadas dos pontos A, B, C e D.<br /><br />O centro da esfera é dado por:<br /><br />\( E = \left(\frac{{x_A + x_B + x_C + x_D}}{4}, \frac{{y_A + y_B + y_C + y_D}}{4}, \frac{{z_A + z_B + z_C + z_D}}{4}\right) \)<br /><br />Substituindo os valores das coordenadas dos pontos A, B, C e D, temos:<br /><br />\( E = \left(\frac{{5 + 3 + 4 + 7}}{4}, \frac{{1 + 5 + 31 + 31}}{4}, \frac{{-3 + 2 + 4 + 31}}{4}\right) \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( E = \left(\frac{{19}}{4}, \frac{{68}}{4}, \frac{{34}}{4}\right) \)<br /><br />\( E = \left(4,75, 8,5, 8,5\right) \)<br /><br />Agora, precisamos calcular o raio da esfera. Para isso, calculamos a distância entre o centro da esfera E e cada um dos pontos A, B, C e D.<br /><br />A distância entre dois pontos \( (x_1, y_1, z_1) \) e \( (x_2, y_2, z_2) \) é dada pela fórmula:<br /><br />\( d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}} \)<br /><br />Calculando as distâncias entre E e A, B, C e D, temos:<br /><br />\( EA = \sqrt{{(5 - 4,75)^2 + (1 - 8,5)^2 + (-3 - 8,5)^2}} \)<br /><br />\( EB = \sqrt{{(3 - 4,75)^2 + (5 - 8,5)^2 + (2 - 8,5)^2}} \)<br /><br />\( EC = \sqrt{{(4 - 4,75)^2 + (31 - 8,5)^2 + (4 - 8,5)^2}} \)<br /><br />\( ED = \sqrt{{(7 - 4,75)^2 + (31 - 8,5)^2 + (31 - 8,5)^2}} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( EA = \sqrt{{0,0625 + 56,25 + 137,5625}} \)<br /><br />\( EB = \sqrt{{3,5625 + 12,25 + 42,5625}} \)<br /><br />\( EC = \sqrt{{0,5625 + 506,5625 + 20,5625}} \)<br /><br />\( ED = \sqrt{{5,5625 + 506,5625 + 506,5625}} \)<br /><br />\( EA = \sqrt{{194,375}} \)<br /><br />\( EB = \sqrt{{58,375}} \)<br /><br />\( EC = \sqrt{{527,6875}} \)<br /><br />\( ED = \sqrt{{1018,6875}} \)<br /><br />Como a esfera passa por todos os pontos, o raio será a menor das distâncias calculadas, que é a distância EB:<br /><br />\( r = \sqrt{{58,375}} \)<br /><br />Portanto, a equação da esfera que passa pelos pontos A, B, C e D é:<br /><br />\( (x - 4,75)^2 + (y - 8,5)^2 + (z - 8,5)^2 = 58,375 \)