lim _(xarrow -2)sqrt [3]((x^2-4)/(3x^2)+5x-2)

Para encontrar o limite da função dada quando x se aproxima de -2, podemos substituir x por -2 diretamente, pois o denominador não se torna zero nesse ponto.<br /><br />Substituindo x por -2, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -2}\sqrt [3]{\frac {x^{2}-4}{3x^{2}+5x-2}} = \sqrt [3]{\frac {(-2)^{2}-4}{3(-2)^{2}+5(-2)-2}}$<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica, temos:<br /><br />$\sqrt [3]{\frac {4-4}{12-10-2}} = \sqrt [3]{\frac {0}{0}}$<br /><br />Como o numerador é zero e o denominador também é zero, temos uma forma indeterminada. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que nos diz que podemos derivar numericamente o numerador e o denominador e depois calcular o limite da nova função.<br /><br />Derivando numericamente o numerador e o denominador em relação a x, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -2}\sqrt [3]{\frac {2x}{6x+5}}$<br /><br />Substituindo x por -2 na nova função, temos:<br /><br />$\sqrt [3]{\frac {2(-2)}{6(-2)+5}} = \sqrt [3]{\frac {-4}{-7}} = \sqrt [3]{\frac {4}{7}}$<br /><br />Portanto, o limite da função dada quando x se aproxima de -2 é $\sqrt [3]{\frac {4}{7}}$.