7) Uma particula se move num sistema de coordenadas cartesianas (x,y),x,y ? 0 em relação ao tempo t segundo as equaçóes paramétricas: ) x(t)=((t)/(4))^(1)/(3) y(t)=((t)/(9))^{(1)/(2) Considerando as informaçbes apresentadas, analise as affirmaçbes a seguir 1. Ovetor velocidade da particula no instante t_(0)=(1)/(2) e dado por (2,(sqrt (2))/(6)) 11. A particula se move nesse sistema de coordenadas segundo uma curva parabólica. III. A distância percorrida pela particula no intervalo 0leqslant tleqslant 4 é igual a (2)/(3)(2sqrt (2)-1) IV. Se um campo de forças overrightarrow (F)(x,y)=(2xy,x^2) atua sobre o plano em que a particula se desloca, entǎo o trabaliho realizado por essa particula no intervalo 0leqslant tleqslant 4 é igual a (3)/(2) f correto APENAS o que se afirma em: Alternativas: a) le III. b) IIe IV. c) 1,11 e III. d) 1, the IV. e) 1,11, III e IV.

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das afirmações apresentadas:<br /><br />1. O vetor velocidade da partícula no instante $t_0 = \frac{1}{2}$ é dado por $(2, \frac{\sqrt{2}}{6})$.<br />Para calcular o vetor velocidade, precisamos derivar as equações paramétricas em relação ao tempo $t$ e substituir $t_0 = \frac{1}{2}$.<br /><br />Derivando as equações paramétricas em relação a $t$, temos:<br />$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{12t^{\frac{2}{3}}}$<br />$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{18t^{\frac{1}{2}}}$<br /><br />Substituindo $t_0 = \frac{1}{2}$, temos:<br />$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t_0} = \frac{1}{12(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}} = 2$<br />$\frac{dy}{dt}\bigg|_{t_0} = \frac{1}{18(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$<br /><br />Portanto, o vetor velocidade da partícula no instante $t_0 = \frac{1}{2}$ é dado por $(2, \frac{\sqrt{2}}{6})$. A afirmação I está correta.<br /><br />11. A partícula se move nesse sistema de coordenadas segundo uma curva parabólica.<br />Para determinar a forma da curva traçada pela partícula, podemos eliminar o parâmetro $t$ das equações paramétricas e obter a equação da curva em termos de $x$ e $y$.<br /><br />Eliminando o parâmetro $t$, temos:<br />$x = (\frac{t}{4})^{\frac{1}{3}}$<br />$y = (\frac{t}{9})^{\frac{1}{2}}$<br /><br />Elevando ambos os lados das equações à terceira potência e ao quadrado, respectivamente, temos:<br />$x^3 = (\frac{t}{4})$<br />$y^2 = (\frac{t}{9})$<br /><br />Isso implica que a equação da curva traçada pela partícula é uma curva parabólica. A afirmação II está correta.<br /><br />III. A distância percorrida pela partícula no intervalo $0 \leq t \leq 4$ é igual a $\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$.<br />Para calcular a distância percorrida pela partícula, precisamos calcular a integral da norma do vetor velocidade em relação ao tempo $t$ no intervalo dado.<br /><br />A norma do vetor velocidade é dada por:<br />$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$<br /><br />Substituindo as derivadas parciais, temos:<br />$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{1}{12t^{\frac{2}{3}}})^2 + (\frac{1}{18t^{\frac{1}{2}}})^2} = \frac{1}{6t^{\frac{1}{3}}}$<br /><br />Calculando a integral dessa expressão em relação a $t$ no intervalo $0 \leq t \leq 4$, temos:<br />$\int_0^4 \frac{1}{6t^{\frac{1}{3}}} dt = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$<br /><br />Portanto, a afirmação III está correta.<br /><br />IV. Se um campo de forças $\overrightarrow{F}(x,y) = (2xy, x^2)$ atua sobre o plano em que a partícula se desloca, então o trabalho realizado por essa partícula no intervalo $0 \leq t \leq 4$ é igual a $\frac{3}{2}$.<br />Para calcular o trabalho realizado pela partícula, precisamos calcular a integral do produto do vetor força e do vetor deslocamento em relação ao tempo $t$ no intervalo dado.<br /><br />O vetor força é dado por $\overrightarrow{F} = (2xy, x^2)$ e o vetor deslocamento é dado por $\overrightarrow{dr} = (dx, dy)$.<br /><br />O trabalho realizado pela partícula é dado por:<br />$W = \int_0^4 \overrightarrow{F} \