4.Prove num triângulo retângulo , a perpendicular baixada do vértice do ângulo reto sobre a hipotenusa o decompõe em dois triângulos parciais semelhantes ao triângulo original. (Use nossa definição de semelhança) Dica: Veja Teorema 3, pagina 43 do livro Medidas e formas do Elon.

Para provar que a perpendicular baixada do vértice do ângulo reto sobre a hipotenusa decompõe o triângulo em dois triângulos parciais semelhantes ao triângulo original, podemos usar nossa definição de semelhança.<br /><br />Vamos considerar um triângulo retângulo ABC, onde ∠C é o ângulo reto. Sejamos D o ponto onde a perpendicular é desenhada sobre a hipotenusa AB.<br /><br />Podemos observar que os triângulos ACD e BDC são semelhantes ao triângulo ABC. Isso ocorre porque ambos os triângulos possuem ângulos agudos iguais aos ângulos agudos do triângulo ABC (ou seja, ∠A e ∠B) e também possuem o ângulo reto (ou seja, ∠C).<br /><br />Além disso, os triângulos ACD e BDC possuem lados proporcionais aos lados do triângulo ABC. Isso pode ser demonstrado usando a propriedade de semelhança de triângulos, que afirma que se dois triângulos possuem ângulos congruentes e lados proporcionais, então eles são semelhantes.<br /><br />Portanto, podemos concluir que os triângulos ACD e BDC são semelhantes ao triângulo ABC, de acordo com nossa definição de semelhança. Isso prova que a perpendicular baixada do vértice do ângulo reto sobre a hipotenusa decompõe o triângulo em dois triângulos parciais semelhantes ao triângulo original.