3 y^prime prime+2 y^prime+y=0

Para resolver a equação diferencial dada \(3y'' + 2y' + y = 0\), podemos usar o método de solução geral.<br /><br />Primeiro, escrevemos a equação característica associada:<br /><br />\(3m^2 + 2m + 1 = 0\)<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:<br /><br />\(m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2}}{3}\)<br /><br />Portanto, as raízes são complexas conjugadas: \(m_1 = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}\) e \(m_2 = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}\).<br /><br />A solução geral da equação diferencial é:<br /><br />\(y(x) = e^{-x/3}(c_1 \cos(\sqrt{2}x/3) + c_2 \sin(\sqrt{2}x/3))\)<br /><br />onde \(c_1\) e \(c_2\) são constantes arbitrárias.