1) Aplique o Teorema da Divergência para determinar o fluxo do campo elétrico overrightarrow (F)(x,y,z)=(x,-y,2z) , através da superficie do cilindro x^2+y^2=9 para -2leqslant zleqslant 2 Considere overrightarrow (n) a normal exterior.

Para aplicar o Teorema da Divergência e determinar o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Divergência do campo elétrico**: A divergência de um campo vetorial \(\overrightarrow{F}\) é dada por \(\nabla \cdot \overrightarrow{F}\). Para o campo elétrico \(\overrightarrow{F}(x,y,z) = (x, -y, 2z)\), calculamos a divergência:<br /><br />\[<br />\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z)}{\partial z} = 1 - 1 + 2 = 2<br />\]<br /><br />2. **Integração sobre a superfície**: O fluxo \(\Phi\) através de uma superfície fechada é dado por:<br /><br />\[<br />\Phi = \iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS<br />\]<br /><br />onde \(\overrightarrow{n}\) é a normal à superfície \(S\).<br /><br />3. **Seleção da superfície**: A superfície é o cilindro \(x^2 + y^2 = 9\) para \(-2 \leq z \leq 2\). A normal \(\overrightarrow{n}\) ao cilindro é tangente ao eixo \(z\), ou seja, \(\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)\).<br /><br />4. **Integração sobre a superfície**: Como a normal é \((0, 0, 1)\), a integral do fluxo se simplifica para:<br /><br />\[<br />\Phi = \iint_{S} 2z \, dS<br />\]<br /><br />5. **Parametrização da superfície**: A superfície \(x^2 + y^2 = 9\) pode ser parametrizada em coordenadas polares:<br /><br />\[<br />x = 3 \cos \theta, \quad y = 3 \sin \theta, \quad z = z<br />\]<br /><br />onde \(\theta\) varia de \(0\) a \(2\pi\).<br /><br />6. **Elemento de área**: O elemento de área \(dS\) na superfície é dado por:<br /><br />\[<br />dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \phi}\right)^2} \, d\theta \, d\phi<br />\]<br /><br />Para \(z = z\), \(\frac{\partial z}{\partial \theta} = 0\) e \(\frac{\partial z}{\partial \phi} = 0\), então:<br /><br />\[<br />dS = \sqrt{1 + 0^2 + 0^2} \, d\theta \, d\phi = d\theta \, d\phi<br />\]<br /><br />7. **Integração**: Substituindo na integral do fluxo:<br /><br />\[<br />\Phi = \iint_{S} 2z \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^2 2z \cdot dz \, d\theta \, d\phi<br />\]<br /><br />8. **Resolvendo a integral**:<br /><br />\[<br />\Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^2 2z \, dz \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \left[ z^2 \right]_0^2 \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta \, d\phi<br />\]<br /><br />\[<br />\Phi = 4 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 d\phi = 4 \cdot 2\pi \cdot 2 = 16\pi<br />\]<br /><br />Portanto, o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro é \(16\pi\).