QUESTOES 11 Bpontesi Prove que o conjunto z_(n)=(0,bar (i),2,ldots ,bar (n)-1) de classes residuais módulo n com a operacao da soma a+b=overline (a+b)

Para provar que o conjunto $z_{n}=(0,\bar {i},2,\ldots,\bar {n}-1)$ de classes residuais módulo n com a operação da soma é um grupo, precisamos verificar se ele satisfaz as quatro propriedades de um grupo: fechamento, associatividade, identidade e inverso.<br /><br />1. Fechamento: Para qualquer $a, b \in z_{n}$, temos que $a + b \in z_{n}$. Isso ocorre porque a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro, e como $a$ e $b$ são classes residuais módulo n, sua soma também será uma classe residual módulo n.<br /><br />2. Associatividade: A operação de soma é associativa, ou seja, para qualquer $a, b, c \in z_{n}$, temos que $(a + b) + c = a + (b + c)$. Isso é verdadeiro para qualquer operação de adição em um conjunto de números inteiros.<br /><br />3. Identidade: O elemento identidade em $z_{n}$ é o elemento neutro na operação de soma, que é 0. Isso ocorre porque para qualquer $a \in z_{n}$, temos que $a + 0 = a$.<br /><br />4. Inverso: Para cada elemento $a \in z_{n}$, existe um inverso $b \in z_{n}$ tal que $a + b = 0$. Isso ocorre porque, para cada $a$, existe um número $b$ tal que $a + b$ é congruente a 0 módulo n.<br /><br />Portanto, podemos concluir que o conjunto $z_{n}=(0,\bar {i},2,\ldots,\bar {n}-1)$ com a operação da soma é um grupo.