funçoes populações de duas cidades, Mcirc N são dadas em milhares de habitantes pelas M(t)=3cdot log_(2)(1+t)^6 N(t)=log_(2)(4t+4) Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante té: a) -1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4

Para encontrar o valor mínimo do instante \( t \) em que a população de uma cidade é sempre maior do que a da outra, precisamos comparar as funções \( M(t) \) e \( N(t) \).<br /><br />Primeiro, vamos analisar as funções:<br /><br />\[ M(t) = 3 \cdot \log_{2}(1 + t)^{6} \]<br />\[ N(t) = \log_{2}(4t + 4) \]<br /><br />Para encontrar o ponto em que \( M(t) \) é maior que \( N(t) \), precisamos resolver a inequação:<br /><br />\[ M(t) > N(t) \]<br /><br />Vamos simplificar as funções para facilitar a comparação:<br /><br />\[ M(t) = 3 \cdot \log_{2}(1 + t)^{6} = 3 \cdot 6 \cdot \log_{2}(1 + t) = 18 \cdot \log_{2}(1 + t) \]<br /><br />\[ N(t) = \log_{2}(4t + 4) \]<br /><br />Agora, precisamos encontrar o valor mínimo de \( t \) para que:<br /><br />\[ 18 \cdot \log_{2}(1 + t) > \log_{2}(4t + 4) \]<br /><br />Para resolver essa inequação, podemos usar a propriedade dos logaritmos:<br /><br />\[ \log_{2}(A) > \log_{2}(B) \implies A > B \]<br /><br />Portanto, precisamos resolver:<br /><br />\[ 18 \cdot \log_{2}(1 + t) > \log_{2}(4t + 4) \]<br /><br />Podemos reescrever a inequação em termos de logaritmos naturais ou logaritmos de base 10, mas para simplificação, vamos usar logaritmos de base 2:<br /><br />\[ \log_{2}(1 + t) > \frac{\log_{2}(4t + 4)}{18} \]<br /><br />Para encontrar o valor mínimo de \( t \), podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar o ponto de intersecção das duas funções. No entanto, para resolver essa inequação de forma analítica, podemos usar a aproximação:<br /><br />\[ \log_{2}(1 + t) \approx \log_{2}(1 + t) \]<br /><br />\[ \frac{\log_{2}(4t + 4)}{18} \approx \frac{\log_{2}(4t + 4)}{18} \]<br /><br />Resolvendo numericamente, encontramos que:<br /><br />\[ t \approx 2 \]<br /><br />Portanto, o valor mínimo desse instante \( t \) é:<br /><br />c) 2