Demonstrar por "indução matemática": 2vert (3^n-1)

Para demonstrar a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Queremos mostrar que a expressão é verdadeira para \(n = 1\). Substituindo \(n = 1\) na expressão, temos:<br />\(2\vert ( 2\vert (3-1) = 2\vert 2\)<br />Como \(2\) é divisível por \(2\), a expressão é verdadeira para \(n = 1\).<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Agora, vamos assumir que a expressão é verdadeira para algum valor \(k\), ou seja, \(2\vert (3^{k}-1)\). Queremos mostrar que a expressão também é verdadeira para \(k+1\), ou seja, \(2\vert (3^{k+1}-1)\).<br /><br />Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação \(2\vert (3^{k}-1)\) por \(3\):<br />\(2 \cdot 3 \vert (3^{k}-1) \cdot 3\)<br />Simplificando, temos:<br />\(6 \vert (3^{k+1}-3)\)<br />Como \(3^{k+1}-3\) é um múltiplo de \(3\), podemos escrever \(3^{k+1}-3\) como \(3(3^{k}-1)\). Portanto, temos:<br />\(6 \vert 3(3^{k}-1)\)<br />Como \(6\) é divisível por \(2\), podemos concluir que \(2\vert (3^{k+1}-1)\).<br /><br />Portanto, a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) é verdadeira para \(n = k+1\) se for verdadeira para \(n = k\).<br /><br />Concluímos que a expressão \(2\vert (3^{n}-1)\) é verdadeira para todos os valores inteiros de \(n\).