Marcus tem uma sacola com 5 caixas de formato idêntico. 3 destas caixas são azuis e 2 são verdes. 2 das caixas azuis têm um prêmio , e 1 das caixas verdes tem um prêmio. Júnior escolhe aleatoriament uma caixa da sacola.. Considere A como o evento em que ele escolhe uma caixa azule B como o evento em que a caixa contém um prêmio. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? Escolha todas as respostas aplicáveis: A P(Avert B)=P(A) . a probabilidade condicional de Marcus escolher uma caixa azul , dado que ele escolheu uma caixa com um prêmio, é igual à probabilidade de ele escolher uma caixa azul. B P(Bvert A)=P(B) , a probabilidade condicional de B Marcus selecionar uma caixa com um prêmio, considerando que ele escolheu uma caixa azul, é igual à probabilidade de Marcus escolher uma caixa com um prêmio. Os eventos A e B são eventos independentes. D Os resultados dos eventos A e B dependem um do D outro.

Vamos analisar cada uma das afirmações:<br /><br />A) \( P(A \vert B) = P(A) \): A probabilidade condicional de Marcus escolher uma caixa azul dado que ele escolheu uma caixa com um prêmio é igual à probabilidade de ele escolher uma caixa azul. Isso é verdadeiro. Vamos calcular:<br /><br />- \( P(A) = \frac{3}{5} \) (probabilidade de escolher uma caixa azul)<br />- \( P(B) = \frac{3}{5} \) (probabilidade de escolher uma caixa com um prêmio)<br />- \( P(A \cap B) = \frac{2}{5} \) (probabilidade de escolher uma caixa azul com um prêmio)<br /><br />A probabilidade condicional \( P(A \vert B) \) é dada por:<br /><br />\[ P(A \vert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3} \]<br /><br />Como \( \frac{2}{3} \neq \frac{3}{5} \), a afirmação A é falsa.<br /><br />B) \( P(B \vert A) = P(B) \): A probabilidade condicional de Marcus selecionar uma caixa com um prêmio, considerando que ele escolheu uma caixa azul, é igual à probabilidade de Marcus escolher uma caixa com um prêmio. Isso é verdadeiro. Vamos calcular:<br /><br />- \( P(A \cap B) = \frac{2}{5} \) (probabilidade de escolher uma caixa azul com um prêmio)<br />- \( P(B) = \frac{3}{5} \) (probabilidade de escolher uma caixa com um prêmio)<br /><br />A probabilidade condicional \( P(B \vert A) \) é dada por:<br /><br />\[ P(B \vert A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3} \]<br /><br />Como \( \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \), a afirmação B é verdadeira.<br /><br />C) Os eventos A e B são eventos independentes. Isso é falso. Dois eventos A e B são independentes se \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). Vamos calcular:<br /><br />- \( P(A \cap B) = \frac{2}{5} \)<br />- \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)<br /><br />Como \( \frac{2}{5} \neq \frac{9}{25} \), os eventos A e B não são independentes.<br /><br />D) Os resultados dos eventos A e B dependem um do outro. Isso é verdadeiro. Como os eventos A e B não são independentes, isso significa que a ocorrência de um evento afeta a probabilidade do outro evento.<br /><br />Portanto, as afirmações verdadeiras são:<br /><br />B) \( P(B \vert A) = P(B) \)<br />D) Os resultados dos eventos A e B dependem um do outro.