4) A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=9,75+1,50t^3 , em que x está em centimetroser em segundos Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00s a t=3,00s (b) a velocidade instantânea em t=2,00s (c) a velocidade instantânea em t=3,00s; (d) a velocidade instantânea em t=2,50s; (c) a velocidade instantânea quando a particula está na metade da distância entre as posições em t=2,00s e t=3,00s (f) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.

(a) Para calcular a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00s a t=3,00s, podemos usar a fórmula da velocidade média:<br /><br />v média = (x final - x inicial) / (t final - t inicial)<br /><br />Substituindo os valores dados na equação de posição, temos:<br /><br />x inicial = 9,75 + 1,50(2,00)^3 = 18,75 cm<br />x final = 9,75 + 1,50(3,00)^3 = 40,125 cm<br /><br />v média = (40,125 - 18,75) / (3,00 - 2,00) = 21,375 cm/s<br /><br />Portanto, a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00s a t=3,00s é de 21,375 cm/s.<br /><br />(b) Para calcular a velocidade instantânea em t=2,00s, podemos calcular a derivada da equação de posição em relação ao tempo:<br /><br />v = dx/dt = 4,5t^2<br /><br />Substituindo t=2,00s na equação, temos:<br /><br />v = 4,5(2,00)^2 = 18,00 cm/s<br /><br />Portanto, a velocidade instantânea em t=2,00s é de 18,00 cm/s.<br /><br />(c) Para calcular a velocidade instantânea em t=3,00s, podemos calcular a derivada da equação de posição em relação ao tempo:<br /><br />v = dx/dt = 4,5t^2<br /><br />Substituindo t=3,00s na equação, temos:<br /><br />v = 4,5(3,00)^2 = 40,50 cm/s<br /><br />Portanto, a velocidade instantânea em t=3,00s é de 40,50 cm/s.<br /><br />(d) Para calcular a velocidade instantânea em t=2,50s, podemos calcular a derivada da equação de posição em relação ao tempo:<br /><br />v = dx/dt = 4,5t^2<br /><br />Substituindo t=2,50s na equação, temos:<br /><br />v = 4,5(2,50)^2 = 28,125 cm/s<br /><br />Portanto, a velocidade instantânea em t=s é28,125 cm/s.<br /><br />(e) Para calcular a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t=2,00s e t=3,00s, podemos calcular a posição média entre esses dois tempos:<br /><br />x médio = (x em t=2,00s + x em3,00 / 2<br /><br />x médio = (18,75 + 40,125) / 2 = 29,4375 cm<br /><br />Em seguida, podemos calcular a velocidade instantânea nesse ponto:<br /><br />v = dx/dt = 4,5t^2<br /><br />Substituindo t=29,4375s na equação, temos:<br /><br />v = 4,5(29,4375)^2 = 39,84375 cm/s<br /><br />Portanto, a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t=2,00s e t=3,00s é de 39,84375 cm/s.<br /><br />(f) Para plotar o gráfico de x em função de t, podemos substituir diferentes valores de t na equação de posição e calcular os valores correspondentes de x. Em seguida, podemos plotar esses pontos no gráfico e conectar as linhas para obter a curva.<br /><br />Aqui está um exemplo de como o gráfico pode ser plotado:<br /><br />t = 0, x = 9,75<br />t = 1, x = 12,75<br />t = 2, x = 18,75<br />t = 3, x = 40,125<br /><br />Ao plotar esses pontos no gráfico, podemos ver que a curva é uma função cúbica, o que confirma a forma da equação de posição dada.