4. A velocidade de propagação de uma onda sismica v em solo saturado depende da densidade p do solo , que por sua vez é função do volume de água w no solo. Suponha que: v(rho (w))=sqrt ((k)/(rho (w))) onde rho (w)=1+0,5w^2 Determine a taxa de variação da velocidade de onda v em relação ao volume de água w.

Para determinar a taxa de variação da velocidade de onda v em relação ao volume de água w, precisamos calcular a derivada de v em relação a w.<br /><br />Dada a função $v(\rho (w))=\sqrt {\frac {k}{\rho (w)}}$, onde $\rho (w)=1+0,5w^{2}$, podemos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada de v em relação a w.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada de $\rho (w)$ em relação a w:<br /><br />$\frac {d\rho (w)}{dw} = \frac {d}{dw} (1+0,5w^{2}) = 0,5 \cdot 2w = w$<br /><br />Agora, vamos calcular a derivada de v em relação a $\rho (w)$:<br /><br />$\frac {dv}{d\rho (w)} = \frac {1}{2\sqrt {\frac {k}{\rho (w)}}} \cdot \left(-\frac {1}{\rho (w)^{2}}\right) = -\frac {1}{2\sqrt {k\rho (w)^{3}}}$<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, a derivada de v em relação a w é:<br /><br />$\frac {dv}{dw} = \frac {dv}{d\rho (w)} \cdot \frac {d\rho (w)}{dw} = -\frac {w}{2\sqrt {k\rho (w)^{3}}}$<br /><br />Portanto, a taxa de variação da velocidade de onda v em relação ao volume de água w é dada por:<br /><br />$\frac {dv}{dw} = -\frac {w}{2\sqrt {k\rho (w)^{3}}}$