Exercício 6.19 Considere o operador linear T sobre P_(3)(R) definido por: T(p(x))=p(x)+xp''(x) Determine os autovalores e os autovetores do operador T. O operador linear Tacute (e)um automorfismo de P_(3)(R)

Para determinar os autovalores e autovetores do operador T, primeiro precisamos encontrar as eigenvalores e os vetores próprios correspondentes.<br /><br />Um vetor próprio de T é um vetor v em $P_{3}(R)$ tal que T(v) = λv, onde λ é um escalar. Podemos procurar os vetores próprios considerando as soluções da equação característica T(v) = λv.<br /><br />Aplicando T à função p(x) = 1, temos:<br /><br />T(p(x)) = T(1) = 1 + x(0) = 1<br /><br />Portanto, o vetor próprio correspondente a este autovalor é v = 1.<br /><br />Para encontrar outros autovalores, consideramos funções polinomiais de grau maior. Aplicando T a uma função p(x) de grau 2, temos:<br /><br />T(p(x)) = p(x) + x(p''(x)) = p(x) + xp''(x)<br /><br />Isso implica que o operador T aumenta o grau do polinômio em uma unidade. Portanto, o autovalor correspondente a funções de grau 2 é 2.<br /><br />Podemos continuar esse processo para funções de grau 3, obtendo o autovalor correspondente como 3.<br /><br />Portanto, os autovalores do operador T são 1, 2 e 3.<br /><br />Para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, consideramos funções polinomiais que satisfazem a equação característica T(v) = λv.<br /><br />Para o autovalor 1, o vetor próprio correspondente é v = 1.<br /><br />Para o autovalor 2, consideramos funções polinomiais de grau 2. Uma solução possível é p(x) = 1 + ax + bx^2, onde a e b são constantes. Substituindo na equação característica, temos:<br /><br />T(p(x)) = p(x) + xp''(x) = (1 + ax + bx^2) + x(0) = 1 + ax + bx^2<br /><br />Igualando coeficientes, temos a = 1 e b = 0. Portanto, um vetor próprio correspondente ao autovalor 2 é v = 1 + x.<br /><br />Para o autovalor 3, consideramos funções polinomiais de grau 3. Uma solução possível é p(x) = 1 + ax + bx^2 + cx^3, onde a, b e c são constantes. Substituindo na equação característica, temos:<br /><br />T(p(x)) = p(x) + xp''(x) = (1 + ax + bx^2 + cx^3) + x(0) = 1 + ax + bx^2 + cx^3<br /><br />Igualando coeficientes, temos a = 1, b = 0 e c = 1. Portanto, um vetor próprio correspondente ao autovalor 3 é v = 1 + x + x^3.<br /><br />Portanto, os autovetores correspondentes aos autovalores 1, 2 e 3 são v = 1, v = 1 + x e v = 1 + x + x^3, respectivamente.<br /><br />Quanto à última parte da pergunta, para determinar se o operador linear T é um automorfismo de $P_{3}(R)$, precisamos verificar se T satisfaz a condição T(fg) = T(f)T(g) para todos os f e g em $P_{3}(R)$.<br /><br />Aplicando T à multiplicação de duas funções f e g, temos:<br /><br />T(fg) = (fg) + x((fg)') = (fg) + x(f'g + fg') = (fg) + x(f'g) + x(fg')<br /><br />Aplicando T separadamente a f e g, temos:<br /><br />T(f) = f + xf'' e T(g) = g + xg''<br /><br />Multiplicando as saídas de T(f) e T(g), temos:<br /><br />T(f)T(g) = (f + xf'')(g + xg'') = (fg) + x(fg'') + (fg'') + x(fg''')<br /><br />Comparando as expressões T(fg) e T(f)T(g), podemos ver que elas são iguais. Portanto, T satisfaz a condição T(fg) = T(f)T(g) para todos os f e g em $P_{3}(R)$.<br /><br />Portanto, o operador linear T é um automorfismo de $P_{3}(R)$.