b) f(x)=3x+5lnx d) f(x)=(1+e^x)/(1-e^x) 4) Calcule a derivada de f(x) a f(x)=x^2e^x C) f(x)=e^xcosx e) f(x)=x^2lnx+2e^x g f(x)=4+5x^2lnx i) f(x)=(lnx)/(x) f) f(x)=(x+1)/(xlnx) h) f(x)=(e^x)/(x^2)+1 j) f(x)=(e^x)/(x+1)

Vamos calcular a derivada de cada uma das funções fornecidas:<br /><br />a) \( f(x) = x^2 e^x \)<br /><br />Usamos a regra do produto:<br />\[ f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2) \]<br /><br />b) \( f(x) = 3x + 5 \ln x \)<br /><br />Usamos a regra da soma e a derivada do logaritmo natural:<br />\[ f'(x) = 3 + \frac{5}{x} \]<br /><br />c) \( f(x) = e^x \cos x \)<br /><br />Usamos a regra do produto:<br />\[ f'(x) = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x) \]<br /><br />d) \( f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \)<br /><br />Usamos a regra do quociente:<br />\[ f'(x) = \frac{(1 + e^x)' \cdot (1 - e^x) - (1 + e^x) \cdot (1 - e^x)'}{(1 - e^x)^2} = \frac{(e^x) \cdot (1 - e^x) - (1 + e^x) \cdot (-e^x)}{(1 - e^x)^2} = \frac{e^x (1 - e^x) + e^x (1 + e^x)}{(1 - e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1 - e^x)^2} \]<br /><br />e) \( f(x) = x^2 \ln x + 2e^x \)<br /><br />Usamos a regra da soma:<br />\[ f'(x) = (x^2 \ln x)' + (2e^x)' = (2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}) + 2e^x = 2x \ln x + x + 2e^x \]<br /><br />f) \( f(x \frac{x + 1}{x \ln x} \)<br /><br />Usamos a regra do quociente:<br />\[ f'(x) = \frac{(x + 1)' \cdot x \ln x - (x + 1) \cdot (x \ln x)'}{(x \ln x)^2} = \frac{(1) \cdot x \ln x - (x + 1) \cdot (1 + \ln x)}{x^2 \ln x} = \frac{x \ln x - (x + 1)(1 + \ln x)}{x^2 \ln x} \]<br /><br />g) \( f(x) = 4 + 5x^2 \ln x \)<br /><br />Usamos a regra da soma:<br />\[ f'(x) = (4)' + (5x^2 \ln x)' = 0 + 5(2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}) = 10x \ln x + 5x \]<br /><br />h) \( f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 1} \)<br /><br />Usamos a regra do quociente:<br />\[ f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot (x^2 + 1) - (e^x) \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x (x^2 + 1) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x (x^2 + 1 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x (x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x (x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} \]<br /><br />i) \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)<br /><br />Usamos a regra do quociente:<br />\[ f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - (\ln x) \cdot x'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{