1. Calcule a diferencial dy das seguintes funções: (a) y=(2)/(x^2)+4 (b) y=(x^2-4)/(x-1) (c) y=(x^2-4)/(x+1) (d) y=x^4-2x^2 (e) y=(x-1)x^(2)/(3) (f) y=(x+1)sqrt (1-x) (g) g(x)=(x)/(x^2)+1 (h) f(x)=x^5+x^3-29 (i) f(x)=x^5+x^3-29

Para calcular a diferençial dy das funções fornecidas, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia, conforme necessário. Vamos calcular cada uma:<br /><br />(a) $y=\frac {2}{x^{2}+4}$<br />Aplicando a regra do quociente:<br />$dy = \frac{-2x}{(x^2+4)^2}dx$<br /><br />(b) $y=\frac {x^{2}-4}{x-1}$<br />Aplicando a regra do quociente:<br />$dy = \frac{(2x)(x-1) - (x^2-4)}{(x-1)^2}dx = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 4}{(x-1)^2}dx = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2}dx$<br /><br />(c) $y=\frac {x^{2}-4}{x+1}$<br />Aplicando a regra do quociente:<br />$dy = \frac{(2x)(x+1) - (x^2-4)}{(x+1)^2}dx = \frac{2x^2 + 2x - x^2 + 4}{(x+1)^2}dx = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x+1)^2}dx$<br /><br />(d) $y=x^{4}-2x^{2}$<br />Aplicando a regra da cadeia:<br />$dy = (4x^3 - 4x)(x^2)dx = 4x^4 - 4x^2 dx$<br /><br />(e) $y=(x-1)x^{\frac {2}{3}}$<br />Aplicando a regra da cadeia:<br />$dy = \left(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\right)(x-1)dx + x^{\frac{2}{3}}dx = \frac{2(x-1)}{3x^{\frac{1}{3}}}dx + x^{\frac{2}{3}}dx$<br /><br />(f) $y=(x+1)\sqrt {1-x}$<br />Aplicando a regra da cadeia:<br />$dy = \left(1\right)\sqrt{1-x}dx + (x+1)\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)dx = \sqrt{1-x}dx - \frac{(x+1)}{2\sqrt{1-x}}dx$<br /><br />(g) $g(x)=\frac {x}{x^{2}+1}$<br />Aplicando a regra do quociente:<br />$dg = \frac{(1)(x^2+1) - (2x^2)}{(x^2+1)^2}dx = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2}dx = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}dx$<br /><br />(h) $f(x)=x^{5}+x^{3}-29$<br />Aplicando a regra da cadeia:<br />$df = (5x^4 + 3x^2)dx = 5x^4 + 3x^2 dx$<br /><br />(i) $f(x)=x^{5}+x^{3}-29$<br />Aplicando a regra da cadeia:<br />$df = (5x^4 + 3x^2)dx = 5x^4 + 3x^2 dx$<br /><br />Portanto, as diferenciais dy das funções fornecidas são:<br /><br />(a) $dy = \frac{-2x}{(x^2+4)^2}dx$<br />(b) $dy = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2}dx$<br />(c) $dy = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x+1)^2}dx$<br />(d) $dy = 4x^4 - 4x^2 dx$<br />(e) $dy = \frac{2(x-1)}{3x^{\frac{1}{3}}}dx + x^{\frac{2}{3}}dx$<br />(f) $dy = \sqrt{1-x}dx - \frac{(x+1)}{2\sqrt{1-x}}dx$<br />(g) $dg = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}dx$<br />(h) $df = 5x^4 + 3x^2 dx$<br />(i) $df = 5x^4 + 3x^2 dx$