Exercício 5 Sabendo que tgx=2 e pi lt xlt (3pi )/(2) , calcule valor da expressão y=(2secxcdot cossecx)/(3cotgx)

Para resolver essa expressão, vamos utilizar as relações trigonométricas conhecidas.<br /><br />Sabemos que $\tan(x) = 2$ e que $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, o que implica que $x$ está no terceiro quadrante, onde tanto $\sin(x)$ quanto $\cos(x)$ são negativos.<br /><br />Podemos usar a relação $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ para encontrar os valores de $\sin(x)$ e $\cos(x)$.<br /><br />Como $\tan(x) = 2$, temos $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2$. Podemos escolher $\sin(x) = 2$ e $\cos(x) = -1$ para satisfazer essa condição.<br /><br />Agora, podemos calcular os valores de $\sec(x)$ e $\csc(x)$ usando as relações $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ e $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$.<br /><br />Substituindo esses valores na expressão dada, temos:<br /><br />$y = \frac{2 \cdot \sec(x) \cdot \csc(x)}{3 \cdot \cot(x)}$<br /><br />$y = \frac{2 \cdot \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\sin(x)}}{3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$y = \frac{2}{3}$<br /><br />Portanto, o valor da expressão é $\frac{2}{3}$.