Determine m para que o conjunto (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2) seja linearmente independente. Escolha uma opção: a. mneq 3 b. m=3 C. mneq -3 d. m=-3

Para determinar o valor de $m$ para o qual o conjunto $\{ (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2)\}$ seja linearmente independente, precisamos verificar se a matriz formada pelos vetores dessa família tem determinante diferente de zero.

A matriz dos vetores é:

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2m \\ 1 & 0 & m+4 \\ -1 & 3 & m-2 \end{pmatrix}$$

Calculamos o determinante dessa matriz:

$$\text{det} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & m+4 \\ 3 & m-2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & m+4 \\ -1 & m-2 \end{vmatrix} + 2m \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}$$

Calculamos cada menor:

$$\begin{vmatrix} 0 & m+4 \\ 3 & m-2 \end{vmatrix} = 0 \cdot (m-2) - (m+4) \cdot 3 = -3(m+4)$$

$$\begin{vmatrix} 1 & m+4 \\ -1 & m-2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (m-2) - (m+4) \cdot (-1) = m-2 - (-m-4) = m-2 + m+4 = 2m + 2$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1) = 3$$

Substituímos na fórmula do determinante:

$$\text{det} = 2 \cdot (-3(m+4)) - (-3) \cdot (2m + 2) + 2m \cdot 3$$

$$= -6(m+4) + 6m + 6 + 6m$$

$$= -6m - 24 + 6m + 6 + 6m$$

$$= 6m - 18$$

Para que a matriz seja linearmente independente, o determinante deve ser diferente de zero:

$$6m - 18 \neq 0$$

$$6m \neq 18$$

$$m \neq 3$$

Portanto, a resposta correta é:

a. $m \neq 3$