3. Calculc o scguintc limitc, caso cstc cxista. lim _(xarrow 0)((x+1)cdot ln(sqrt (x+1)))/(exp(x)-1)

Para calcular o limite dado, podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente e depois calcular o limite novamente.<br /><br />Vamos começar derivando o numerador e o denominador em relação a x:<br /><br />$\frac{d}{dx}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})] = \frac{d}{dx}[x+1] \cdot \ln(\sqrt{x+1}) + (x+1) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(\sqrt{x+1})]$<br /><br />$\frac{d}{dx}[\exp(x) - 1] = \frac{d}{dx}[\exp(x)] - \frac{d}{dx}[1] = \exp(x)$<br /><br />Agora, vamos calcular o limite novamente:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})}{\exp(x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\frac{d}{dx}[\exp(x) - 1]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital novamente, obtemos:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\frac{d}{dx}[\exp(x) - 1]} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^2}{dx^2}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\frac{d^2}{dx^2}[\exp(x) - 1]}$<br /><br />Calculando as segundas derivadas, temos:<br /><br />$\frac{d^2}{dx^2}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})] = \frac{d}{dx}[\frac{d}{dx}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]]$<br /><br />$\frac{d^2}{dx^2}[\exp(x) - 1] = \frac{d}{dx}[\frac{d}{dx}[\exp(x) - 1]] = \frac{d}{dx}[\exp(x)] = \exp(x)$<br /><br />Portanto, o limite é:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^2}{dx^2}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\frac{d^2}{dx^2}[\exp(x) - 1]} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^2}{dx^2}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\exp(x)}$<br /><br />Agora, podemos substituir x = 0 na expressão acima:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^2}{dx^2}[(x+1) \cdot \ln(\sqrt{x+1})]}{\exp(x)} = \frac{\frac{d^2}{dx^2}[(0+1) \cdot \ln(\sqrt{0+1})]}{\exp(0)} = \frac{\frac{d^2}{dx^2}[1 \cdot \ln(1)]}{1} = \frac{0}{1} = 0$<br /><br />Portanto, o limite é igual a 0.