Questão 04: A aceleração de uma motocicleta é dada pela expressão A(t)=at-bt^2 onde a=1,5 m/s e b=0,12m/s A motocicleta está em repouso na origem no instante t=0 (a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo (b) Calcule a velocidade maxima que ela pode atingir

Vamos resolver a questão passo a passo:<br /><br />### Parte (a): Velocidade e posição em função do tempo<br /><br />A aceleração é dada por:<br />\[ A(t) = at - bt^2 \]<br /><br />Para encontrar a velocidade \( V(t) \), integramos a aceleração em relação ao tempo \( t \):<br />\[ V(t) = \int A(t) \, dt = \int (at - bt^2) \, dt \]<br /><br />ando termo por termo:<br />\[ V(t) = \int at \, dt - \int bt^2 \, dt \]<br />\[ V(t) = a \int t \, dt - b \int t^2 \, dt \]<br />\[ V(t) = a \left( \frac{t^2}{2} \right) - b \left( \frac{t^3}{3} \right) + C \]<br /><br />Onde \( C \) é a constante de integração. Sabemos que a motocicleta está em repouso na origem no instante \( t = 0 \), então \( V(0) = 0 \). Substituindo \( t = 0 \) na de velocidade:<br />\[ 0 = a \left( \frac{0^2}{2} \right) - b \left( \frac{0^3}{3} \right) + C \]<br />\[ 0 = 0 - 0 + C \]<br />\[ C = 0 \]<br /><br />Portanto, a equação de velocidade é:<br />\[ V(t) = \frac{a t^2}{2} - \frac{b t^3}{3} \]<br /><br />Para encontrar a posição \( S(t) \), integramos a velocidade em relação ao tempo \( t \ S(t) = \int V(t) \, dt = \int \left( \frac{a t^2}{2} - \frac{b t^3}{3} \right) \, dt \]<br /><br />Integrando termo por termo:<br />\[ S(t) = \frac{a}{2} \int t^2 \, dt - \frac{b}{3} \int t^3 \, dt \]<br />\[ S(t) = \frac{a}{2} \left( \frac{t^3}{3} \right) - \frac{b}{3} \left( \frac^4}{4} \right) + D \]<br /><br />Onde \( D \) é a constante de integração. Sabemos que a motocicleta está na origem no instante \( t = 0 \), então \( S(0) = 0 \). Substituindo \( t = 0 \) na equação de posição:<br />\[ 0 = \frac{a}{2} \left( \frac{0^3}{3} \right) - \frac{b}{3} \left( \frac{0^4}{4} \right) + D \]<br />\[ 0 - 0 + D \]<br />\[ D = 0 \]<br /><br />Portanto, a equação de posição é:<br />\[ S(t) = \frac{a t^3}{6} - \frac{b t^4}{12} \]<br /><br />### Parte (b): Velocidade máxima<br /><br />Para encontrar a velocidade máxima, precisamos encontrar o valor máximo da função de velocidade \( V(t) \). A velocidade máxima ocorre quando a derivada de \( V(t) \) em relação a \( t \) é igual a zero.<br /><br />Derivando \( V(t) \) em relação a \( t \):<br />\[ V'(t) = \frac{d}{dt} \left({a t^2}{2} - \frac{b t^3}{3} \right) \]<br />\[ V'(t) = a t - b t^2 \]<br /><br />Igualando a derivada a zero para encontrar o valor de \( t \) que maximiza a velocidade:<br />\[ a t - b t^2 = 0 \]<br />\[ t(a - b t) = 0 \]<br /><br />Isso implica que \( t = 0 \) ou \( a - b t = 0 \). Como \( t = 0 \) não nos dá uma velocidade não-nula, resolvemos para \( a - b t = 0 \):<br />\[ a = b t \]<br />\[ tfrac{a}{b} \]<br /><br />Substituindo os valores de \( a \) e \( b \):<br />\[ t = \frac{1,5}{0,12} \]<br />\[ t = 12,5 \,