MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECOND NRESREPUBLIQUE DU CAMEROUN CES DESABONGARI-BANYO Département de Mathématiques Classe : 3^cm PARTIE A: EVALUATION DES RESSSOURCES IS points Exercice 15,25 points 1) Questions a choix multiples2,25pts Pour chacune des questions suivantes, choisir la lettre correspondant a la réponse juste 1) L'écriture sans radical au dénominateur d (2sqrt (3))/(3-sqrt (5)) est : a) (6sqrt (3))/(4) b) (6sqrt (3)+2sqrt (15))/(4) c) (6sqrt (3)+sqrt (15))/(4) 0,75pt 2) Siaetb sont premiers entre eux , alors PPCM (a;b) égale à : a) (a-bb)1a)atimes b0,75pt 3) Pour montrer que deux droites sont paralleles.on utilise la: a) Propriété directedethalesb) Propriété depythagorec)réciproquedethales 0. II) A(x)=2x(x+7)+(x-3)(2x+1),B(x)=x^2+10x+25+ (x+5)(x+1)etC(x)=(x-2)(x-3)+(x-2)(3x+1) 1) Développer, réduire puis ordonner suivant l'ordre décroissant de xl'expression A(x) 2) Factoriser les expressions B(x) et C(x) 1pttimes 2=2pts Exercice 2:5points 1) Montrer que le nombre A=((7)/(3))^2times (1)/(2)-(13)/(3)times (1)/(6) est un entier naturel. 2) Écrire le nombre B=3sqrt (27)-4sqrt (75)+5sqrt (147) sous ia forme a sqrt (3) où a est un nor relatif, Ipt 3) Sachant que 1,41lt sqrt (2)lt 1,42 donner un encadrement de C=-5sqrt (2)+3 10^-2 pres.0,75pt 4-a) Déterminer le PGCD(186;155) par un algorithme de votre choix. 4-b) En déduire le PPCM(186;155) 5-a) Représenter sur une même droite graduée les intervalles suivants E=]arrow ;2 F=[-4;5] 0.5pt Paix-Travail-Patrie Année Scolaire : 20242025 Ipt 0.5pt 0.7

### **Correction et Solutions**<br /><br />---<br /><br />#### **Exercice 1 : (5,25 points)**<br /><br />##### **1) Questions à choix multiples (2,25 pts)**<br /><br />**1. Simplification de \( \frac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} \) :**<br /><br />Pour simplifier cette expression, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur \( 3+\sqrt{5} \) :<br /><br />\[<br />\frac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}<br />\]<br /><br />Le dénominateur devient :<br />\[<br />(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4<br />\]<br /><br />Le numérateur devient :<br />\[<br />2\sqrt{3}(3+\sqrt{5}) = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{15}<br />\]<br /><br />Ainsi :<br />\[<br />\frac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{4}<br />\]<br /><br />**Réponse correcte : b) \( \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{4} \)**<br /><br />---<br /><br />**2. Si \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux, alors \( \operatorname{PPCM}(a ; b) \) est égal à :**<br /><br />La propriété fondamentale est que si \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux, alors :<br />\[<br />\operatorname{PPCM}(a ; b) = a \times b<br />\]<br /><br />**Réponse correcte : c) \( a \times b \)**<br /><br />---<br /><br />**3. Pour montrer que deux droites sont parallèles, on utilise :**<br /><br />La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que deux droites sont parallèles.<br /><br />**Réponse correcte : c) Réciproque de Thalès**<br /><br />---<br /><br />##### **II) Développement et factorisation (3 pts)**<br /><br />**1. Développer, réduire et ordonner \( A(x) \) :**<br /><br />On donne :<br />\[<br />A(x) = 2x(x+7) + (x-3)(2x+1)<br />\]<br /><br />Développons chaque terme :<br /><br />- \( 2x(x+7) = 2x^2 + 14x \)<br />- \( (x-3)(2x+1) = x(2x+1) - 3(2x+1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 \)<br /><br />En regroupant :<br />\[<br />A(x) = (2x^2 + 14x) + (2x^2 - 5x - 3) = 4x^2 + 9x - 3<br />\]<br /><br />**Résultat final : \( A(x) = 4x^2 + 9x - 3 \)**<br /><br />---<br /><br />**2. Factoriser \( B(x) \) et \( C(x) \) :**<br /><br />- \( B(x) = x^2 + 10x + 25 + (x+5)(x+1) \)<br /><br />Développons \( (x+5)(x+1) \) :<br />\[<br />(x+5)(x+1) = x^2 + x + 5x + 5 = x^2 + 6x + 5<br />\]<br /><br />Donc :<br />\[<br />B(x) = (x^2 + 10x + 25) + (x^2 + 6x + 5) = 2x^2 + 16x + 30<br />\]<br /><br />Factorisons \( 2x^2 + 16x + 30 \) :<br />\[<br />2x^2 + 16x + 30 = 2(x^2 + 8x + 15) = 2(x+3)(x+5)<br />\]<br /><br />**Résultat : \( B(x) = 2(x+3)(x+5) \)**<br /><br />---<br /><br />- \( C(x) = (x-2)(x-3) + (x-2)(3x+1) \)<br /><br />Factorisons par \( (x-2) \) :<br />\[<br />C(x) = (x-2)\big[(x-3) + (3x+1)\big] = (x-2)(4x-2)<br />\]<br /><br />Factorisons \( (4x-2) \) :<br />\[<br />C(x) = (x-2) \cdot 2(2x-1)<br />\]<br /><br />**Résultat : \( C(x) = 2(x-2)(2x-1) \)**<br /><br />---<br /><br />#### **Exercice 2 : (5 points)**<br /><br />**1. Montrer que \( A = \left(\frac{7}{3}\right)^2 \times \frac{1}{2} - \frac{13}{3} \times \frac{1}{6} \) est un entier naturel :**<br /><br />Calculons chaque terme :<br /><br />- \( \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} \), donc \( \left(\frac{7}{3}\right)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{49}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{49}{18} \)<br />- \( \frac{13}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{13}{18} \)<br /><br />Ainsi :<br />\[<br />A = \frac{49}{18} - \frac{13}{18} = \frac{49 - 13}{18} = \frac{36}{18} = 2<br />\]<br /><br />**Résultat : \( A = 2 \), qui est un entier naturel.**<br /><br />---<br /><br />**2. Écrire \( B = 3\sqrt{27} - 4\sqrt{75} + 5\sqrt{147} \) sous la forme \( a\sqrt{3} \) :**<br /><br />Simplifions chaque terme :<br /><br />- \( 3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \)<br />- \( -4\sqrt{75} = -4 \times 5\sqrt{3} = -20\sqrt{3} \)<br />- \( 5\sqrt{147} = 5 \times 7\sqrt{3} = 35\sqrt{3} \)<br /><br />En regroupant :<br />\[<br />B = 9\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 35\sqrt{3} = (9 - 20 + 35)\sqrt{3} = 24\sqrt{3}<br />\]<br /><br />**Résultat : \( B = 24\sqrt{3} \)**<br /><br />---<br /><br />**3. Encadrement de \( C = -5\sqrt{2} + 3 \) :**<br /><br />Sachant que \( 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 \), encadrons \( -5\sqrt{2} \) :<br /><br />- \( -5 \times 1,41 = -7,05 \)<br />- \( -5 \times 1,42 = -7,10 \)<br /><br />Donc :<br />\[<br />-7,10 < -5\sqrt{2} < -7,05<br />\]<br /><br />Ajoutons 3 :<br />\[<br />-4,10 < -5\sqrt{2} + 3 < -4,05<br />\]<br /><br />**Résultat : \( C \in ]-4,10 ; -4,05[ \)**<br /><br />---<br /><br />**4-a) Déterminer le PGCD(186 ; 155) :**<br /><br />Utilisons l'algorithme d'Euclide :<br /><br />- \( 186 \div 155 = 1 \) reste \( 31 \)<br />- \( 155 \div 31 = 5 \) reste \( 0 \)<br /><br />Donc, \( \operatorname{PGCD}(186 ; 155) = 31 \).<br /><br />---<br /><br />**4-b) En déduire le PPCM(186 ; 155) :**<br /><br />La relation entre PGCD et PPCM est :<br />\[<br />\operatorname{PPCM}(a ; b) = \frac{a \times b}{\operatorname{PGCD}(a ; b)}<br />\]<br /><br />Ainsi :<br />\[<br />\operatorname{PPCM}(186 ; 155) = \frac{186 \times 155}{31} = 930<br />\]<br /><br />**Résultat : \( \operatorname{PPCM}(186 ; 155) = 930 \)**<br /><br />---<br /><br />**5-a) Représenter les intervalles \( E = ]-\infty ; 2[ \) et \( F = [-4 ; 5] \) :**<br /><br />Sur une droite graduée :<br /><br />- \( E = ]-\infty ; 2[ \) est une demi-droite ouverte à droite en \( 2 \).<br />- \( F = [-4 ; 5] \) est un segment fermé entre \( -4 \) et \( 5 \).<br /><br />--- <br /><br />**Fin de la correction.**