70. (U F-ES) Os valores xin R para os quais a expressão (2-x)/(3+x) 6 o seno de um ângulo, são: a) xlt -3 ou xgt 3 c) xgt -3 e) xgt -(1)/(2) b) xlt -3 ou xgeqslant -(1)/(2) d) xleqslant -(1)/(2) e xneq -3

Para determinar os valores de \( x \) para os quais a expressão \( \frac{2-x}{3+x} \) é igual ao seno de um ângulo, precisamos considerar que o seno de um ângulo varia entre -1 e 1. Portanto, a expressão \( \frac{2-x}{3+x} \) deve estar dentro desse intervalo.<br /><br />Vamos analisar a expressão \( \frac{2-x}{3+x} \):<br /><br />1. O denominador \( 3+x \) não pode ser igual a zero, pois isso resultaria em uma divisão indefinida. Portanto, \( x \neq -3 \).<br /><br />2. Para que a expressão \( \frac{2-x}{3+x} \) esteja dentro do intervalo [-1, 1], devemos ter:<br /> \[<br /> -1 \leq \frac{2-x}{3+x} \leq 1<br /> \]<br /><br /> Vamos resolver essa desigualdade:<br /><br /> - Para \( \frac{2-x}{3+x} \leq 1 \):<br /> \[<br /> 2 - x \leq 3 + x<br /> \]<br /> \[<br /> 2 \leq 4 + 2x<br /> \]<br /> \[<br /> 2 - 4 \leq 2x<br /> \]<br /> \[<br /> -2 \leq 2x<br /> \]<br /> \[<br /> -1 \leq x<br /> \]<br /><br /> - Para \( \frac{2-x}{3+x} \geq -1 \):<br /> \[<br /> \frac{2-x}{3+x} + 1 \geq 0<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{2-x + 3 + x}{3+x} \geq 0<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{5}{3+x} \geq 0<br /> \]<br /><br /> Como \( 5 \) é sempre positivo, a desigualdade \( \frac{5}{3+x} \geq 0 \) é sempre verdadeira para \( x \neq -3 \).<br /><br />Portanto, combinando as duas condições, temos:<br />\[<br />-1 \leq x \quad \text{e} \quad x \neq -3<br />\]<br /><br />Assim, a resposta correta é:<br />d) \( x \leq -\frac{1}{2} \) e \( x \neq -3 \)