Questão 6 cálculo de integrais em regiōes do tipo circular pode ser feito por meio das coordenadas polares Nesse sentido faz-se necessário fazer corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Deseja-se calcular a integral da função f(x)=x^2+y^2 sobre a região D limitada por 0leqslant rleqslant 6,0leqslant Theta leqslant pi Assinale a alternativa que contém o valor da integral dupla da função dada sobre a região D. 6pi 324pi 1296pi 124pi 648pi

Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + y^2 \) sobre a região \( D \) limitada por \( 0 \leq r \leq 6 \) e \( 0 \leq \theta \leq \pi \), precisamos usar as coordenadas polares. Nesse caso, as coordenadas polares são \( r \) e \( \theta \), onde \( r \) representa a distância radial e \( \theta \) representa o ângulo.<br /><br />A integral dupla em coordenadas polares é dada por:<br /><br />\[ \iint_D f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Substituindo \( f(x) = x^2 + y^2 \) e \( r \, dr \, d\theta \) pela integral em coordenadas polares, temos:<br /><br />\[ \iint_D (r^2) \, r \, dr \, d\theta = \int_0^\pi \int_0^6 r^3 \, dr \, d\theta \]<br /><br />Calculando a integral em \( r \):<br /><br />\[ \int_0^6 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^6 = \frac{6^4}{4} = \frac{1296}{4} = 324 \]<br /><br />Agora, calculamos a integral em \( \theta \):<br /><br />\[ \int_0^\pi 324 \, d\theta = 324 \theta \bigg|_0^\pi = 324 \pi \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla da função dada sobre a região \( D \) é \( 324\pi \).<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />\[ 324\pi \]