Assinale a alternativa que contenha a solução geral da equação diferencial y'=(x-e^-x)/(y+e^y) A. y^2+e^y=x^2+e^-xc B. y^4+2e^y+2x=c

Para encontrar a solução geral da equação diferencial, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação diferencial:<br /><br />$y' = \frac{x - e^{-x}}{y + e^{y}}$<br /><br />Podemos separar as variáveis $x$ e $y$ da seguinte forma:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{x - e^{-x}}{y + e^{y}}$<br /><br />Agora, vamos separar as variáveis:<br /><br />$(y + e^{y}) dy = (x - e^{-x}) dx$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int (y + e^{y}) dy = \int (x - e^{-x}) dx$<br /><br />Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a integração por partes. Seja $u = y$ e $dv = dy$. Então, $du = dy$ e $v = e^{y}$. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int (y + e^{y}) dy = y e^{y} - \int e^{y} dy$<br /><br />Para integrar o lado direito, podemos usar a integração por partes novamente. Seja $u = x$ e $dv = (x - e^{-x}) dx$. Então, $du = dx$ e $v = \frac{x^2}{2} + e^{-x}$. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int (x - e^{-x}) dx = \frac{x^2}{2} + e^{-x}$<br /><br />Agora, substituímos as integrações parciais na equação:<br /><br />$y e^{y} - \int e^{y} dy = \frac{x^2}{2} + e^{-x}$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$y e^{y} - e^{y} = \frac{x^2}{2} + e^{-x}$<br /><br />$e^{y}(y - 1) = \frac{x^2}{2} + e^{-x}$<br /><br />Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por $e^{y}$:<br /><br />$y - 1 = \frac{\frac{x^2}{2} + e^{-x}}{e^{y}}$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$y - 1 = \frac{x^2}{2e^{y}} + \frac{e^{-x}}{e^{y}}$<br /><br />$y - 1 = \frac{x^2}{2e^{y}} + e^{-2x}$<br /><br />Agora, podemos reescrever a equação em termos de $y$:<br /><br />$y = 1 + \frac{x^2}{2e^{y}} + e^{-2x}$<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é:<br /><br />$y = 1 + \frac{x^2}{2e^{y}} + e^{-2x}$<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />A. $y^{2}+e^{y}=x^{2}+e^{-x}c$